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Plano de aula > Matemática > 9º ano > Geometria

Plano de aula - Relação entre a hipotenusa e cateto 1

Plano de aula de Matemática com atividades para 9º ano do Fundamental sobre Retomar algumas construções básicas utilizando esquadro. Descobrir a relação entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Plano 02 de 10 • Clique aqui e veja todas as aulas desta sequência

Plano de aula alinhado à BNCC • POR: Flávia Adolf Lutz Keller,

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Objetivo select-down

Slide Plano Aula

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Flávia Adolf Lutz Keller

Mentor: Lara Martins Barbosa

Especialista de área: Pricilla Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF09MA13 - Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo.

Objetivos específicos

Retomar algumas construções básicas utilizando esquadro.

Descobrir a relação entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Conceito-chave

Perceber que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto de sua projeção pela medida da hipotenusa.

Recursos necessários

Régua e esquadro.


Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientações: Projete ou leia o objetivo para a turma. Verifique se todos os alunos dominam os termos que serão trabalhados em sala: cateto, projeção de cateto e hipotenusa.

Propósito: Apresentar o objetivo a turma.

Discuta com a turma:

  • Será que há alguma relação entre essas medidas?

Você pode pedir que os alunos levantem hipóteses sobre a relação existente e anotar no canto da lousa. No final da aula, verificar se as relações propostas pelos alunos são válidas ou não.

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Como a atividade principal será baseada em construções, nesse aquecimento faremos algumas construções com régua e esquadro para construções de perpendiculares.

Discuta uma questão por vez.

Propósito: Recordar o conceito de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • O que são retas perpendiculares? Resgate com a turma o que são retas perpendiculares, o que eles sabem e só depois, se necessário, complemente que retas perpendiculares são retas que se cruzam, formando ângulos retos, ou seja, de 90º.
  • Como traçar retas perpendiculares utilizando régua e esquadro? Mostre aos alunos um esquadro e peça para dizer o que estão vendo. Lembre-se que há dois tipos de esquadro (o de 45º e o de 30º e 60º), mas ambos têm dois lados perpendiculares. São esses lados que auxiliarão no traçado das perpendiculares. Para isso é necessário que um dos lados do esquadro fique sobre a reta dada e então traçar com lápis a reta perpendicular a esse lado.

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Esta primeira atividade tem objetivo de verificar se o aluno consegue traçar perpendiculares com o uso do esquadro. Essa atividade pode ser realizada em duplas, o que auxilia o professor, pois os próprios alunos podem ajudar os colegas no manuseio do esquadro, num esquema de monitoramento.

Propósito: Recordar o conceito de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • Quantas retas perpendiculares podemos traçar?
  • Há outras maneiras de traçar perpendiculares? (neste momento os alunos podem sugerir outras opções como por exemplo, o uso de transferidor).

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Neste momento os alunos traçarão a única perpendicular possível à reta s que passe pelo ponto P. Incentive-os a resolver e socializar o método que utilizaram para traçar essa perpendicular

Propósito: Recordar a construção de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • E agora, quantas perpendiculares atendem à solução da situação proposta (os alunos devem concluir que a solução encontrada é única)?
  • Há outra maneira de encontrar essa perpendicular que não seja com esquadro? Socialize as respostas.

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Incentive os alunos a proporem sua própria resolução do exercício. Socializaremos a resolução utilizando régua e esquadro mas observe que na primeira pergunta não é citada aos alunos quais instrumentos são necessários para a construção de tal triângulo.

Propósito: Recordar o conceito de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • Quais instrumentos de medida você utilizará para construir o seu triângulo retângulo?
  • Há mais de uma maneira de construí-lo?
  • A construção com régua e esquadro facilita o trabalho?

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Os alunos devem permanecer em duplas. Os alunos farão passo a passo da construção do triângulo que já está com as medidas pré estabelecidas. Observação: o aluno pode construir o mesmo triângulo em posições diferentes.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Há outras formas de construir o triângulo retângulo proposto?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Assim como no slide anterior, discuta com os alunos se há outras maneiras de realizar a mesma atividade.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Assim que pedir para traçar a altura, retome com a classe: o que é altura de um triângulo?
  • Quantas alturas tem cada triângulo?
  • Quais são as características da altura (retomar que deve ser perpendicular à base e que é necessário passar pelo vértice)?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11).

Orientações: Este momento é muito importante pois aqui os alunos vão tentar estabelecer uma nova propriedade. Peça que usem as medidas na melhor aproximação possível. No primeiro comando é pedido que os alunos meçam as projeções. No segundo comando eles deverão medir a hipotenusa, que será exatamente 10 cm.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Ao medirem a hipotenusa, peça que comparem com as medidas das projeções dos catetos. A soma das projeções é igual à medida da hipotenusa?
  • Se isso não ocorreu, o que aconteceu? Seria necessário medir novamente?
  • Será que seu triângulo e sua altura foram traçados corretamente?

Você pode pedir para socializar a medida das projeções já que toda classe construiu o triângulo com as mesmas medidas.

  • Incentive os alunos a chegar a relação de que cateto ao quadrado é igual a medida da projeção multiplicado pela hipotenusa.
  • Se ninguém conseguir chegar a esse valor, vá dando dicas: e se elevarmos a medida do cateto ao quadrado?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Na primeira questão, leve o aluno a perceber que a relação se mantém nos dois catetos. Depois lance o desafio de verificar essa relação em outros triângulos retângulos.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • 1ª pergunta: peça para que façam a comparação com o outro cateto. Ressalte que é importante comparar o cateto com sua projeção. A relação não se aplica se pegarmos a outra projeção.
  • 2ª questão: desperte a curiosidade dos alunos para que realize outra construção com medidas diferentes. A proposta será feita no próximo slide, mas já desperte aos alunos a curiosidade para testar em outras situações.

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Agora os alunos farão o mesmo passo a passo realizado na atividade anterior mas com uma medida qualquer que irão escolher. Possivelmente as medidas não serão tão simples, pois não serão exatas. Mesmo assim, valorize todas as construções realizadas pelos alunos.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • As medidas escolhidas para os catetos devem ser medidas inteiras?
  • E a medida da hipotenusa? É um valor inteiro?
  • Peça que todas as duplas socializem as respostas e as conclusões tiradas.

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Discussão da Solução select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 4 minutos.

Orientações: Neste momento, o professor deverá conduzir a discussão sobre os valores encontrados nas construções. Deixe os alunos socializarem os resultados encontrados e incentive-os a buscar justificativas para a aproximação.

Propósito: Discutir as soluções encontradas e as dificuldades na atividade principal.

Discuta com a turma:

  • Na primeira questão é bem provável que alguns grupos cheguem ao valor exato da relação. Isso ocorre devido aos valores atribuídos aos catetos e à hipotenusa, que são exatos. Não se deve neste momento comentar sobre as trincas pitagóricas pois os alunos ainda não estudaram o Teorema de Pitágoras.
  • Os alunos que não chegarem à solução exata na primeira situação deverão se questionar: será que as medidas estão feitas adequadamente? Os ângulos retos traçados são exatamente de 90º?
  • Na segunda questão é bem possível que os alunos cheguem apenas em resultados aproximados. Pois, se escolheram medidas inteiras para os catetos, é bem provável que a hipotenusa não seja um valor exato. Diante disso, as medidas das projeções também serão aproximadas, o que não proporcionará valores exatos na relação estudada.

Sistematização do Conceito select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos.

Orientações: Neste momento, deixe os alunos explanarem tudo que foi aprendido, inclusive sobre as construções e uso de esquadro (que pode ser novidade para alguns alunos)

Propósito: Sistematizar o conceito aprendido em sala e verificar se todos compreenderam.

Discuta com a turma:

Neste momento, o professor pode voltar às hipoteses levantadas no início da aula e discutir sua veracidade.

  • O que aprenderam de novo?
  • Houve alguma situação que vocês já sabiam resolver o problema de um modo e foi resolvido de outro (comparando o uso do esquadro e do transferidor para retas perpendiculares)?

Encerramento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientações: Neste momento é apresentado aos alunos tanto a fórmula, quanto à definição. É importante que o aluno não decore fórmulas, mas reflita sobre seu significado.

Propósito: Verificar se todos acompanharam o desenvolvimento do novo conceito.

Discuta com a turma:

  • Como posso expressar matematicamente essa relação? É possível utilizar fórmulas para simplificar?

Raio X select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (slides 15 e 16).

Orientações: Este exercício é apenas para verificar se o conceito trabalhado em aula foi aprendido.

Resolução:

a2 = c . b

Propósito: saber se todos conseguem aplicar o novo conceito em situações-problema.

Discuta com a turma:

  • Quais as dificuldades encontradas na resolução do exercício?

Raio X select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (slides 15 e 16).

Orientações: Oriente os alunos que a construção do triângulo facilita a resolução do exercício.

Resolução:

c2 = 4 . 9

c2 = 36

c = 6

R: A medida do cateto desse triângulo é 6 cm.

Propósito: Saber se todos conseguem aplicar o novo conceito em situações-problema.

Discuta com a turma:

  • Quais as dificuldades encontradas na resolução deste problema?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do Raio X

Atividade complementar

Resolução da Atividade Complementar

Resumo da aula

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Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientações: Projete ou leia o objetivo para a turma. Verifique se todos os alunos dominam os termos que serão trabalhados em sala: cateto, projeção de cateto e hipotenusa.

Propósito: Apresentar o objetivo a turma.

Discuta com a turma:

  • Será que há alguma relação entre essas medidas?

Você pode pedir que os alunos levantem hipóteses sobre a relação existente e anotar no canto da lousa. No final da aula, verificar se as relações propostas pelos alunos são válidas ou não.


Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Flávia Adolf Lutz Keller

Mentor: Lara Martins Barbosa

Especialista de área: Pricilla Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF09MA13 - Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo.

Objetivos específicos

Retomar algumas construções básicas utilizando esquadro.

Descobrir a relação entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Conceito-chave

Perceber que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto de sua projeção pela medida da hipotenusa.

Recursos necessários

Régua e esquadro.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Como a atividade principal será baseada em construções, nesse aquecimento faremos algumas construções com régua e esquadro para construções de perpendiculares.

Discuta uma questão por vez.

Propósito: Recordar o conceito de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • O que são retas perpendiculares? Resgate com a turma o que são retas perpendiculares, o que eles sabem e só depois, se necessário, complemente que retas perpendiculares são retas que se cruzam, formando ângulos retos, ou seja, de 90º.
  • Como traçar retas perpendiculares utilizando régua e esquadro? Mostre aos alunos um esquadro e peça para dizer o que estão vendo. Lembre-se que há dois tipos de esquadro (o de 45º e o de 30º e 60º), mas ambos têm dois lados perpendiculares. São esses lados que auxiliarão no traçado das perpendiculares. Para isso é necessário que um dos lados do esquadro fique sobre a reta dada e então traçar com lápis a reta perpendicular a esse lado.

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Esta primeira atividade tem objetivo de verificar se o aluno consegue traçar perpendiculares com o uso do esquadro. Essa atividade pode ser realizada em duplas, o que auxilia o professor, pois os próprios alunos podem ajudar os colegas no manuseio do esquadro, num esquema de monitoramento.

Propósito: Recordar o conceito de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • Quantas retas perpendiculares podemos traçar?
  • Há outras maneiras de traçar perpendiculares? (neste momento os alunos podem sugerir outras opções como por exemplo, o uso de transferidor).

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Neste momento os alunos traçarão a única perpendicular possível à reta s que passe pelo ponto P. Incentive-os a resolver e socializar o método que utilizaram para traçar essa perpendicular

Propósito: Recordar a construção de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • E agora, quantas perpendiculares atendem à solução da situação proposta (os alunos devem concluir que a solução encontrada é única)?
  • Há outra maneira de encontrar essa perpendicular que não seja com esquadro? Socialize as respostas.

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4, 5 e 6).

Orientações: Incentive os alunos a proporem sua própria resolução do exercício. Socializaremos a resolução utilizando régua e esquadro mas observe que na primeira pergunta não é citada aos alunos quais instrumentos são necessários para a construção de tal triângulo.

Propósito: Recordar o conceito de perpendicular.

Discuta com a turma:

  • Quais instrumentos de medida você utilizará para construir o seu triângulo retângulo?
  • Há mais de uma maneira de construí-lo?
  • A construção com régua e esquadro facilita o trabalho?

Materiais complementares:

Aquecimento

Resolução do Aquecimento

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Os alunos devem permanecer em duplas. Os alunos farão passo a passo da construção do triângulo que já está com as medidas pré estabelecidas. Observação: o aluno pode construir o mesmo triângulo em posições diferentes.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Há outras formas de construir o triângulo retângulo proposto?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Assim como no slide anterior, discuta com os alunos se há outras maneiras de realizar a mesma atividade.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Assim que pedir para traçar a altura, retome com a classe: o que é altura de um triângulo?
  • Quantas alturas tem cada triângulo?
  • Quais são as características da altura (retomar que deve ser perpendicular à base e que é necessário passar pelo vértice)?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11).

Orientações: Este momento é muito importante pois aqui os alunos vão tentar estabelecer uma nova propriedade. Peça que usem as medidas na melhor aproximação possível. No primeiro comando é pedido que os alunos meçam as projeções. No segundo comando eles deverão medir a hipotenusa, que será exatamente 10 cm.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Ao medirem a hipotenusa, peça que comparem com as medidas das projeções dos catetos. A soma das projeções é igual à medida da hipotenusa?
  • Se isso não ocorreu, o que aconteceu? Seria necessário medir novamente?
  • Será que seu triângulo e sua altura foram traçados corretamente?

Você pode pedir para socializar a medida das projeções já que toda classe construiu o triângulo com as mesmas medidas.

  • Incentive os alunos a chegar a relação de que cateto ao quadrado é igual a medida da projeção multiplicado pela hipotenusa.
  • Se ninguém conseguir chegar a esse valor, vá dando dicas: e se elevarmos a medida do cateto ao quadrado?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Na primeira questão, leve o aluno a perceber que a relação se mantém nos dois catetos. Depois lance o desafio de verificar essa relação em outros triângulos retângulos.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • 1ª pergunta: peça para que façam a comparação com o outro cateto. Ressalte que é importante comparar o cateto com sua projeção. A relação não se aplica se pegarmos a outra projeção.
  • 2ª questão: desperte a curiosidade dos alunos para que realize outra construção com medidas diferentes. A proposta será feita no próximo slide, mas já desperte aos alunos a curiosidade para testar em outras situações.

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slides 7, 8, 9, 10 e 11) .

Orientações: Agora os alunos farão o mesmo passo a passo realizado na atividade anterior mas com uma medida qualquer que irão escolher. Possivelmente as medidas não serão tão simples, pois não serão exatas. Mesmo assim, valorize todas as construções realizadas pelos alunos.

Propósito: Descobrir a relação da medida entre o cateto, sua projeção e a hipotenusa em um triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • As medidas escolhidas para os catetos devem ser medidas inteiras?
  • E a medida da hipotenusa? É um valor inteiro?
  • Peça que todas as duplas socializem as respostas e as conclusões tiradas.

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 4 minutos.

Orientações: Neste momento, o professor deverá conduzir a discussão sobre os valores encontrados nas construções. Deixe os alunos socializarem os resultados encontrados e incentive-os a buscar justificativas para a aproximação.

Propósito: Discutir as soluções encontradas e as dificuldades na atividade principal.

Discuta com a turma:

  • Na primeira questão é bem provável que alguns grupos cheguem ao valor exato da relação. Isso ocorre devido aos valores atribuídos aos catetos e à hipotenusa, que são exatos. Não se deve neste momento comentar sobre as trincas pitagóricas pois os alunos ainda não estudaram o Teorema de Pitágoras.
  • Os alunos que não chegarem à solução exata na primeira situação deverão se questionar: será que as medidas estão feitas adequadamente? Os ângulos retos traçados são exatamente de 90º?
  • Na segunda questão é bem possível que os alunos cheguem apenas em resultados aproximados. Pois, se escolheram medidas inteiras para os catetos, é bem provável que a hipotenusa não seja um valor exato. Diante disso, as medidas das projeções também serão aproximadas, o que não proporcionará valores exatos na relação estudada.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos.

Orientações: Neste momento, deixe os alunos explanarem tudo que foi aprendido, inclusive sobre as construções e uso de esquadro (que pode ser novidade para alguns alunos)

Propósito: Sistematizar o conceito aprendido em sala e verificar se todos compreenderam.

Discuta com a turma:

Neste momento, o professor pode voltar às hipoteses levantadas no início da aula e discutir sua veracidade.

  • O que aprenderam de novo?
  • Houve alguma situação que vocês já sabiam resolver o problema de um modo e foi resolvido de outro (comparando o uso do esquadro e do transferidor para retas perpendiculares)?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientações: Neste momento é apresentado aos alunos tanto a fórmula, quanto à definição. É importante que o aluno não decore fórmulas, mas reflita sobre seu significado.

Propósito: Verificar se todos acompanharam o desenvolvimento do novo conceito.

Discuta com a turma:

  • Como posso expressar matematicamente essa relação? É possível utilizar fórmulas para simplificar?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (slides 15 e 16).

Orientações: Este exercício é apenas para verificar se o conceito trabalhado em aula foi aprendido.

Resolução:

a2 = c . b

Propósito: saber se todos conseguem aplicar o novo conceito em situações-problema.

Discuta com a turma:

  • Quais as dificuldades encontradas na resolução do exercício?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (slides 15 e 16).

Orientações: Oriente os alunos que a construção do triângulo facilita a resolução do exercício.

Resolução:

c2 = 4 . 9

c2 = 36

c = 6

R: A medida do cateto desse triângulo é 6 cm.

Propósito: Saber se todos conseguem aplicar o novo conceito em situações-problema.

Discuta com a turma:

  • Quais as dificuldades encontradas na resolução deste problema?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do Raio X

Atividade complementar

Resolução da Atividade Complementar

Slide Plano Aula

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