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Todos os passos para entender a regra de três

Ao pensar sobre proporções, os jovens se apropriam do raciocínio por trás desse procedimento de cálculo

POR:
Wellington Soares, Bruno Mazzoco e Lucia de Menezes
A relação entre tamanho e quantidade de movimentos iniciou o estudo do tema. Fotos: André Teles

Para muitos adultos, a regra de três é a mais importante aprendizagem da Matemática. Usando-a, é possível operar várias situações que envolvem a relação entre grandezas. Na escola, o desafio é explorar o raciocínio lógico que a fundamenta e os contextos apropriados para recorrer a ela, atrelados a conteúdos do currículo.

Foi exatamente o que Carla Stoffel, professora da EMEF Presidente João Goulart, em Novo Hamburgo, a 43 quilômetros de Porto Alegre, teve em mente ao trabalhar o tema com o 6º ano. "Propus atividades que serviram como preparação para estimular o raciocínio e evitar que os alunos resolvessem tudo com um procedimento mecânico, sem saber bem o porquê dele", explica. Para isso, ela desenvolveu uma sequência didática sobre o conceito de proporcionalidade e que, ao final, utilizava a regra de três como uma possibilidade para solucionar problemas.

A primeira aula se baseou na seguinte questão: a quantidade de passos necessária para percorrer uma mesma distância aumenta ou diminui quando se dá passadas maiores? Após levantar hipóteses, a turma fez uma atividade no pátio para validá-las. Em grupos, os jovens tiveram de percorrer um mesmo trajeto de três maneiras diferentes: caminhando normalmente, a passos largos e em "passos de formiga", com a ponta de um pé tocando o calcanhar do outro. Ao final de cada percurso, eles anotaram quantos movimentos foram necessários para completar todo o caminho.

De volta à sala de aula, cada grupo comparou os resultados obtidos. Apesar de pequenas variações, foi possível identificar uma regularidade: quanto menor o tamanho da passada, maior era a quantidade necessária para o percurso. "Alguns alunos já tinham antecipado essa conclusão. Os outros realizaram o experimento e depois chegaram a ela", explica a docente. Com base nessas observações, Carla pôde enunciar que algumas grandezas - como as envolvidas nesse experimento - são proporcionais, ou seja, possuem uma relação em que a variação de uma implica necessariamente na outra. 

Pesquisa para construir o conceito

Para dar continuidade ao trabalho, a professora orientou a turma a realizar uma pesquisa no laboratório de informática sobre dois tipos de grandezas: as diretamente e as inversamente proporcionais. Em sala, os jovens concluíram que, nas relações de proporção direta, quando uma grandeza aumenta ou diminui a outra acompanha seu movimento. Um exemplo que ilustra essa relação é o valor final da compra de um produto, que varia de acordo com a quantidade de unidades adquiridas. Já nos casos de proporção inversa, quando uma grandeza aumenta a outra diminui, e vice-versa, como a relação entre velocidade e tempo ao se percorrer uma distância fixa.

Apesar de próxima da definição real, a descrição elaborada pela garotada ainda não estava completa. "Não basta apenas falar que aumenta de um lado e do outro também ou diminui de um e cresce do outro. É importante notar que isso ocorre na mesma proporção", comenta Ruy Pietropaolo, professor do programa de pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo.

Para ressaltar esse aspecto, Carla recorreu ao seguinte problema: "Em uma gráfica, certa impressora imprime 100 folhas em 5 minutos. Quantos minutos ela gastará para imprimir 1.000 delas?". Em conjunto, a turma discutiu possíveis formas de resolvê-lo. A docente conduziu o debate perguntando: "De quanto foi o aumento na quantidade de impressões? Então, o que vocês acham que vai acontecer com o tempo?". Após a resolução coletiva, Carla destacou a regularidade, mostrando que os dois fatores (número de folhas e tempo de impressão) variavam na mesma proporção. Assim, sempre que um deles fosse multiplicado por um número, o outro deveria ser multiplicado pelo mesmo valor. No caso, se a quantidade de papel ficou 10 vezes maior, o tempo também seria 10 vezes o anterior.

A professora propôs outras situações-problema, aumentando a dificuldade aos poucos. Para resolver as primeiras, os estudantes utilizaram o cálculo mental, como nas etapas anteriores. Mas quando as questões passaram a envolver números decimais, o uso dessa estratégia se tornou mais difícil. Foi então que Carla explicou como funciona a regra de três. Ao apresentá-la, é importante destacar que recorrer a ela nem sempre é necessário ou adequado. "Muitas vezes, os alunos acabam achando que podem utilizá-la para resolver qualquer problema matemático", aponta Ruy.Na etapa seguinte, a docente trabalhou com a proporcionalidade inversa. Nesse momento, é possível retomar o problema apresentado na atividade realizada no pátio, adaptando-o para que fique matematicamente correto. Isso pode ser feito atribuindo medidas fixas às passadas. Considerando, por exemplo, que o passo intermediário tem 50 cm de comprimento e que a distância percorrida é de 5 m, pode-se perguntar qual a quantidade de movimentos necessária ao reduzir o tamanho da passada pela metade ou duplicá-lo (veja esquema abaixo). No exemplo, em que as grandezas são inversamente proporcionais, ao se multiplicar um dos fatores por um número, o outro deve ser dividido pelo mesmo valor.

Da experimentação para o cálculo

Ao atribuir uma medida para o tamanho de cada passada, é possível prever a quantidade de movimentos necessários

Segundo Samuel Gomes Duarte, coordenador de formação de professores de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental da Comunidade Educativa Cedac, em São Paulo, o percurso planejado pela professora Carla usa as experiências práticas para elucidar conceitos e desenvolver a linguagem matemática. "Em geral, os professores param na etapa empírica. O docente tem de se preocupar em fazer também a sistematização dos conceitos", comenta ele.

Quando nem a regra de três ajuda

Tão importante quanto apresentar as grandezas  diretamente e inversamente proporcionais é destacar os casos em que não há uma relação direta entre elas. "O aluno pode pensar que tudo varia proporcionalmente. Então, ao mesmo tempo, o professor deve ensinar a não proporcionalidade", ressalta Ruy. São esses casos que não podem ser resolvidos nem pela regra de três.

Uma possibilidade é comparar a variação do perímetro e da área de um quadrado em relação à variação na medida de lado dele. A primeira relação - lado e perímetro - é diretamente proporcional. Se dobrarmos de 2 cm para 4 cm o valor do lado de um quadrado, o perímetro passará de 8 cm para 16 cm. O dobro, portanto. O perímetro permanece sendo quatro vezes maior do que a medida do lado, ou seja, a razão entre as grandezas é igual a 4.

Ao dobrar o tamanho do lado, o valor da área salta de 4 cm² para 16 cm². Assim, para o quadrado de lado 2 cm, a razão entre área e lado é 2. Já para o quadrado de lado 4 cm, esse valor é igual a 4, ou seja, a medida da área quadriplica. Observa-se aí que a proporcionalidade entre essas duas grandezas obedece uma regularidade diferente.

Ao trabalhar relações como essa, se torna ainda mais claro que o uso da regra de três deve ser feito com parcimônia. Ele depende não apenas de dominar os procedimentos mas também de reconhecer a relação existente entre as grandezas envolvidas no problema e, então, chegar à conclusão se o uso dela é apropriado ou não. "Trata-se de uma técnica para achar o resultado, mas antes deve-se entender o conceito de proporcionalidade", complementa Ruy.