Cálculo da probabilidade em eventos aleatórios

Explore com a turma a ideia de que a certeza é apenas um caso entre muitos eventos possíveis no contexto das probabilidades

POR:
Beatriz Vichessi
Ilustração: Stefan

No avançar dos anos no Ensino Fundamental, os estudantes têm de romper com várias formas de pensar para seguir aprendendo Matemática. Eles devem entender, por exemplo, que embora seja uma ciência que tem a exatidão como característica marcante (o que fica claro ao lidar com a aritmética), ela também pode ser usada para fazer previsões, lidar com acontecimentos prováveis e reais, porém incertos e aleatórios.

Aprendendo isso, por exemplo, a garotada vai entender com mais clareza informações como essa: "As pessoas que deixam de fumar passam a ter, após oito ou dez anos de abstinência, quase as mesmas probabilidades de um não-fumante desenvolver câncer de pulmão" e compreender de que maneira esses dados são calculados.

"A turma vai perceber também que muitos fatos cotidianos são de natureza aleatória - como o sorteio de números da Mega-Sena -, mas que é possível identificar os possíveis resultados - ainda que eles sejam muitos - e estimar a chance de ocorrência real para cada um deles", explica Humberto Luís de Jesus, assessor técnico educacional da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.

Em geral, pouca gente tem conhecimento suficiente sobre o pensamento probabilístico em situações que envolvem eventos aleatórios, como situações de apostas. Há quem aposte nos números 7 e 11 em um jogo envolvendo produtos possíveis da multiplicação dos resultados do lançamento de dois dados - valores que não têm chance de ocorrer. Isso porque há quem não perceba a importância de avaliar as possibilidades reais antes (leia os quadros na última página com problemas e alguns possíveis equívocos cometidos pelos estudantes).

O cálculo de chances pode envolver a combinatória

Ilustração: Stefan

Para que essas aprendizagens relacionadas ao campo da probabilidade se concretizem, é preciso, primeiramente, transformar em experiências o que muitas vezes é simplesmente imposto com regras nos livros didáticos.

É propondo jogar uma moeda diversas vezes, discutir e refletir sobre isso, por exemplo, que a moçada vai observar e elaborar conjeturas sobre como e por que se define que a chance de ganhar num jogo de cara ou coroa é 50%. Quanto mais o objeto for lançado, a razão entre o número de coroas e o total de lançamentos se aproxima de 50/100 (e o mesmo ocorre com a razão entre o número de caras e o total de lançamentos da moeda), o que revela que a grandeza de denominadores influencia a probabilidade. "Quanto mais realizamos um experimento probabilístico, mais nos aproximamos do real", diz Celi Lopes, professora do programa de mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul.

Para seguir adiante, é fundamental provocar o grupo a resolver problemas mais complexos, que também envolvam o pensamento combinatório.

Tomemos como exemplo a seguinte questão :"Raquel está se arrumando para ir a uma festa, mas está em dúvida sobre qual destes quatro vestidos usar: azul, branco, vermelho ou amarelo. Para combinar, ela tem três cintos: preto, laranja e marrom. Há quantas maneiras possíveis de a garota se vestir? E qual a probabilidade de ela ir à festa usando o vestido azul com o cinto laranja?"

Para responder à primeira pergunta, é possível um diagrama de árvore.

matemática probabilidade

Ou então multiplicar o número de vestidos (4) pelo de cintos (3) para contabilizar o total de combinações possíveis nas condições estabelecidas (12).

No início do trabalho, é fundamental incentivar a turma a resolver problemas semelhantes lançando mão de procedimentos mais caseiros, como listas, tabelas, desenhos e esquemas.

Celi explica que a percepção de que multiplicar os valores é equivalente é um saber a ser construído enquanto a turma analisa o diagrama em busca do resultado para o problema.

Em relação à segunda questão, é preciso relacionar o evento proposto pelo problema - vestido azul com o cinto laranja -, com as chances de combinação (também chamado de espaço amostral) apontadas na primeira resposta (12), para encontrar a resposta: 1/12. Perceba que não é possível responder à pergunta sem antes ter calculado o número de possibilidades de combinação, ou seja, a análise combinatória é um conteúdo que deve ser trabalhado em conjunto com a probabilidade (leia a sequência didática) e que se espera que os alunos já dominem, pois é trabalhado, geralmente, no 5º ano.

É importante ainda notar e explorar com a moçada outro detalhe a respeito da segunda resposta. Existem maneiras diferentes de representá-la: a expressão fracionária (1/12), que explicita a relação entre as grandezas, e a expressão porcentual (0,83%). Ou seja, é preciso ficar clara a diversidade de apresentação dos resultados. Assim, percebe-se que o conteúdo dos números racionais está relacionado a conceitos e procedimentos próprios do pensamento probabilístico.

Dados de pesquisa ajudam a medir chances futuras

Ilustração: Stefan

A exploração da probabilidade na sala de aula também pode estar alinhada ao trabalho estatístico. "A primeira fornece dados para a segunda analisar quais são os parâmetros que interferem em determinado resultado", explica Celi. Por isso, a turma tem de conquistar autonomia em interpretar informações - e não só ler gráficos e tabelas.

No problema seguinte, essa competência fica bem clara: "Qual é a chance de um automóvel ser furtado no decorrer deste ano?"

Levando em conta que o número de furtos varia a cada ano, a saída é buscar pesquisas estatísticas a respeito, que levam em conta a quantidade de automóveis nas ruas e de furtos, como no exemplo a seguir. Suponhamos que, em 2010, havia 31.201 carros em circulação e ocorreram 32 furtos. Para determinar a chance de furtos deste ano, isto é, fazer uma previsão, é preciso se apoiar na chance do ano anterior. Para calculá-la, é necessário relacionar o número de ocorrências com a quantidade de carros: 32/31.201, que equivale aproximadamente a 0,001, ou a 1/1.000 - ou seja, a chance era de 1 a cada 1.000 veículos.

Trabalhando com aspectos diferentes (envolvendo raciocínio e informações estatísticas), a garotada vai compreender que, como disse o filósofo francês Diderot (1713-1784), fora as matemáticas (a aritmética, a álgebra e a geometria), o resto é probabilidade: das coisas mais graves às mais frívolas, estendendo-se às ambições e aos divertimentos.

Enunciados, respostas equivocadas e análises
Os exemplos abaixo são de problemas que requerem o uso do conceito de probabilidade. Veja algumas soluções propostas por alunos e as possíveis análises

Uma caixa contém 30 bombons que só são diferentes pelo sabor. Doze são de coco, 6 de morango, 8 de uva e 4 de banana. Retira-se ao acaso um deles da caixa. Qual é o sabor com maior chance de ser retirado da caixa?

De banana, porque foram os últimos colocados na caixa. Então, eles ficam por cima.

Comentário O aluno cometeu um equívoco, não levando em conta que é o sabor que aparece mais vezes na caixa (no caso, coco) que tem a maior chance de ser pego.


A senha bancária de uma pessoa é uma sequência de quatro algarismos, sendo que nenhum deles pode ser zero. Ela foi ao caixa 24 horas para sacar dinheiro, mas se esqueceu da senha. Digitou uma combinação ao acaso. Qual é a probabilidade de ela acertar na primeira tentativa?

4 x 4 x 4 x 4 = 16

Comentário Além de ter errado na operação (o resultado correto da multiplicação é 256), o aluno se confundiu ao elencar as possibilidades. Se a senha tem quatro algarismos de 1 a 9, para cada um deles há nove opções: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, o que indica que a resolução correta é 9 x 9 x 9 x 9, que é igual a 6.561. Ou seja, esse é a quantidade de possibilidades de senha e a chance de a pessoa acertar na primeira tentativa é de 1/ 6.561.


O resultado de um lançamento de um dado de seis faces é o número que estiver na face voltada para cima. No caso da figura, seria 5. Supondo um novo lançamento, quais as chances de obter um número maior que 4?

4 em 6.

Comentário O aluno simplesmente apresentou os dados fornecidos no enunciado como resposta, deixando de levar em conta que existem só dois algarismos maiores que 4 na peça (5 e 6) e, portanto, o correto é de 2 em 6 (2/6, 1/3 ou 0,33%).

Quer saber mais?

CONTATOS
Andréia Silva Brito
Celi Lopes
Humberto Luís de Jesus

BIBLIOGRAFIA
Estudos e Reflexões em Educação Estatística
, Celi Espasandin Lopes (org.), 320 págs., Ed. Mercado de Letras, tel. (19) 3241-7514, 52 reais

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