À procura dos números primos

A decomposição em fatores primos é um conteúdo a ser ensinado não só para apoiar outros temas, como o mínimo múltiplo comum (MMC), o máximo divisor comum (MDC) e a radiciação. O trabalho caprichado ajuda a turma a compreender o que são os números primos e as relações existentes entre eles e, segundo Gabriela Barbosa, doutora em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), também dá oportunidade de explorar as propriedades da divisibilidade e da multiplicação.

Por meio da decomposição em fatores primos, é possível escrever qualquer número com a multiplicação de dois ou mais primos. Por exemplo: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3². Qual a diferença em representar 36 assim em vez de 6 x 6 ou 9 x 4? Recorrer aos primos é a maneira de garantir a decomposição ao máximo, esgotando outras possibilidades de ir adiante.

Os primos são geradores de todos os demais números ao mesmo tempo que não podem ser gerados por outros. "Ou seja, eles não são múltiplos de número algum", explica Andréia Silva Brito, da EEEFM Carlos Drumond de Andrade, em Presidente Médici, a 412 quilômetros de Porto Velho. Por isso dizemos que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmos.

Não raro, as aulas sobre esse conteúdo são reduzidas ao trabalho com vários números escolhidos ao acaso. Quando isso ocorre, os estudantes traçam um percurso mecânico, não têm a oportunidade de interpretar os resultados e estabelecer ligações e chegar a conclusões matemáticas importantes. Uma delas, simples, mas essencial, é que não é preciso lançar mão dos primos em ordem crescente (2, 3, 5, 7 etc.) para pôr o processo em prática. Se forem usados em desordem, o resultado final será o mesmo.

"É um bom ponto a analisar e serve de mote para uma discussão sobre a propriedade comutativa da multiplicação: a ordem dos fatores não altera o produto", diz Andréia.

O ensino mecanizado também abre espaço para a meninada não compreender que a multiplicação dos fatores representa o número inicial, alvo do processo. Jonas Ricardo, professor do CIEP 394 Cândido Augusto Ribeiro Neto, em Nova Iguaçu, região metropolitana do Rio de Janeiro, diz que as crianças acabam se perdendo nos cálculos. Quando terminam a tarefa, não conseguem fazer conexão entre o processo, o resultado e o valor composto.

Uma decomposição, muitas relações

Antes de explorar a decomposição em fatores primos com a turma do 8º ano, Andréia pediu, entre outras coisas, que a garotada escrevesse diversos números em forma de multiplicação e, em seguida, usando só os números primos. Depois, discutiu as estratégias adotadas. Outra providência importante é verificar se a sala tem bons recursos para trabalhar com divisão.

O esforço de revisão é essencial por vários motivos. É comum, por exemplo, que a classe se confunda com os primos: até hoje os matemáticos não encontraram um padrão que dite a sequência desse grupo. Não raro muitos alunos pensam que se o número é ímpar é primo. À primeira vista, parece ter sentido, afinal, depois de 2, o início da sequência é formado por 3, 5, 7, 11, 13...

A primeira etapa foi desafiar os alunos a decompor em fatores primos alguns números por meio do processo prático, ou seja, organizando os fatores de modo vertical, como mostrado anteriormente. "Não é o único modo de fazer. Mas quis que a turma se apoderasse de um jeito mais econômico e seguro de lidar com o processo", conta a professora. Quando as crianças recorrem a métodos próprios, decompondo o número aos poucos e começando dos que não são primos, comumente se esquecem de um número ou perdem tempo relembrando os critérios de divisibilidade e fazendo contas.

Depois, a tarefa foi resolver uma questão do livro didático: decompor em fatores primos 2.002, 3.003, 4.004 e 5.005 sem fazer contas e sabendo que 7 x 11 x 13 = 1.001. A questão é interessante pois a decomposição de 2.002, 3.003, 4.004 e 5.005 contém a de 1.001. Veja:

Durante a realização da atividade, ela observou que algumas crianças estavam começando a decompor 2.002 quando um colega disse: "Vocês não precisam fazer tudo isso! 2.002 é múltiplo de 1.001. Então, é só multiplicar 7 x 11 x 13 por 2".

Em seguida, ainda com o livro didático em mãos, a garotada se deparou com um número gigante: 2^43.112.609 - 1, o maior primo conhecido até 2008. A tarefa consistia em responder por que é possível afirmar com certeza que o triplo dele não é primo também.

De acordo com Andréia, foi interessante constatar que a classe não se lançou às contas, tentando multiplicar 2 por ele mesmo 43.112.609 vezes e subtrair 1 do resultado. A turma analisou o problema e buscou o que havia aprendido para encontrar a resposta. "Os estudantes entenderam como fazer isso com o passar do tempo. É uma construção importante, como o comportamento seguro de não apagar uma resolução só porque eu me aproximo e peço para explicar o raciocínio", explica.

A tarefa seguinte foi analisar se alguns números expressos em fatores primos eram divisores de outros, registrados do mesmo jeito. Por exemplo: 2³ x 5 é divisor de 2⁴ x 5²? Os alunos já tinham estudado a subtração de potências e muitos lançaram mão da forma fracionária:

Evidentemente, a primeira alternativa é mais prática, mas ambas funcionam. O fundamental, segundo Andréia, é trabalhar para que a turma entenda os conceitos por trás do que está sendo feito e organizar o planejamento de modo que as estratégias apresentadas por um sejam compartilhadas por todos e discutidas. Esses, aliás, foram os cuidados que ajudaram a educadora a avaliar se os estudantes, ao fim da sequência, tinham aprendido que o algarismo da unidade de um primo nunca é zero e que o múltiplo de um primo não pode ser primo, entre outros conhecimentos. Um exemplo e tanto de uma prática focada em fazer a turma usar os cálculos para alcançar generalizações.