Sobre esta aula
Tempo previsto: 01 aula de 50 minutos.
Materiais sugeridos:
- caderno para registro dos alunos;
- lousa ou quadro;
- projetor (opcional);
- calculadora (opcional);
- malha quadriculada impressa (opcional);
- compasso (opcional);
Contextualizando
Caso seja possível, inicie a aula em local com projetor disponível ou na sala de informática e apresente a imagem abaixo [Imagem 1], com a fotografia do atacante Richarlison batendo na bola no lance que culminou no 2º gol do Brasil contra a Sérvia na Copa do Mundo de 2022 no Catar. Se não houver a possibilidade de projeção da imagem, imprima ou apresente pelo celular ou pela tela do computador a Imagem 1.
Questione os alunos sobre a imagem:
- Vocês assistiram ao 1º jogo do Brasil na Copa do Mundo de 2022?
- Vocês se lembram do que aconteceu após este chute do atacante Richarlison?
- Se vocês tivessem que descrever esta imagem com uma palavra, qual seria?
Organize o repertório prévio dos alunos à medida que respondem às perguntas. Possibilite-lhes fazer as suas considerações, exercitando a oralidade, a fluência oral, além da comunicação e da argumentação.
Anote no quadro as palavras que os alunos forem falando no final da 3ª pergunta, pois é ela que vai guiar os próximos passos da aula. Dê um destaque no quadro às palavras que remetem ao “belo”, como: “golaço”, “lindo”, “perfeito” etc.
Em seguida, apresente, seguindo as mesmas orientações da Imagem 1, as Imagens 2, 3, 4, e 5. Elas podem ser apresentadas lado a lado ou uma de cada vez.
Pergunte aos alunos se eles conhecem estas imagens e se já viram esta curva que está desenhada sobre elas.
A Imagem 3 é o Parthenon, o mais conhecido dos edifícios remanescentes da Grécia Antiga. As Imagens 4 e 5 são obras de Leonardo da Vinci, a Mona Lisa e o Homem Vitruviano, que são famosas por sua beleza e padrões de perfeição. A curva desenhada sobre as imagens é conhecida como espiral de Fibonacci e será um elemento que estudaremos na atividade principal da aula.
Comente com os alunos que esta curva foi associada ao longo da história à “perfeição matemática” e que construções que seguem este padrão costumam trazer a ideia de algo belo ao olhar humano. Ela recebe o nome de espiral de Fibonacci em homenagem ao matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci.
Mão na massa
Tempo previsto: 25 minutos
Atividade: A razão áurea
Organize os alunos em duplas e projete a imagem a seguir. Caso não seja possível projetar, imprima a imagem e entregue uma por dupla. Também pode ser utilizada uma calculadora por dupla para facilitar os cálculos da última etapa da atividade.
Neste ponto, há duas possibilidades para o desenvolvimento da aula, de acordo com o tempo e material disponível para a execução da atividade:
- Propor que os alunos construam a espiral, utilizando a malha quadriculada impressa e um compasso, para depois seguir com o estudo de suas propriedades;
- Apresentar a espiral construída da Imagem 7 na malha quadriculada e explorar as suas propriedades como atividade principal da aula.
No caso de escolher pela possibilidade 1, entregue também a malha quadriculada (Imagem 6) sem a espiral construída.
Para facilitar a construção, oriente os alunos para dividirem a malha quadriculada em quadrados e começarem a construção usando um dos vértices do quadrado maior ou um dos vértices dos quadrados menores.
No caso de escolher pela possibilidade 2, siga com a atividade a partir deste ponto.
Na Imagem 7, pode ser observada a formação da espiral de Fibonacci a partir de 8 arcos de ¼ de circunferência.
- Qual a medida do raio de cada um desses arcos? Escreva-os em ordem crescente.
- Resp: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 e 21.
- Você percebe algum padrão na sequência obtida anteriormente?
- Resp: A partir do terceiro termo, ele é o resultado da soma dos dois imediatamente anteriores. 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21. Comente com os alunos que esta sequência é conhecida como sequência de Fibonacci.
- Se continuássemos com a espiral, qual seria o raio do próximo arco?
- Resp: 34, que é a soma de 13 com 21.
- Escreva os 12 primeiros termos desta sequência e faça a razão entre dois termos consecutivos dividindo o maior pelo menor. Se necessário, arredonde para três casas decimais. Os resultados destas divisões apresentam alguma propriedade?
- Resp: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
- 2/1 = 2;
- 3/2 = 1,5;
- 5/3 ≈ 1,667;
- 8/5 = 1,6;
- 13/8 = 1,625;
- 21/13 ≈ 1,615;
- 34/21 ≈ 1,619;
- 55/34 ≈ 1,618;
- 89/55 ≈ 1,618;
- 144/89 ≈ 1,618;
- Quanto mais avançamos na sequência, a razão entre termos consecutivos se aproxima de um mesmo número. Com três casas decimais, se aproxima de 1,618.
Faça perguntas como:
- Como podemos encontrar o raio dos arcos formados na espiral?
- Será que conseguimos descobrir o próximo termo da sequência a partir dos anteriores? Como?
- O que são termos consecutivos?
- Você se lembra do conceito de razão?
- Como podemos arredondar o resultado para 3 casas decimais?
Momento da reflexão
Tempo previsto: 5 minutos
Ainda com os alunos em duplas, proponha um momento de reflexão. Peça para que eles leiam a pergunta a seguir e discutam com o colega qual seria a melhor resposta para ela.
- Voltando à Imagem 2 e analisando o movimento do jogador Richarlison, podemos afirmar que ele se encaixa perfeitamente na espiral de Fibonacci ou estamos considerando uma aproximação?
Neste ponto, podem ser feitos comentários sobre a posição do braço e do corpo como um todo, sendo que a ideia é que os alunos percebam que colocar a espiral de Fibonacci na fotografia do jogador Richarlison é muito mais uma aproximação do que dizer que se encaixa perfeitamente.
Vale ressaltar que a própria construção do Partenon (Imagem 3) também leva em conta algumas aproximações para se encaixar no contexto estudado, pois algumas partes da construção “sobram” ou “faltam” nos retângulos formados.
Retomando
Tempo previsto: 5 minutos
Nesta etapa, vamos formalizar alguns conteúdos que foram explorados ao longo da aula. Você pode projetar, ler ou escrever no quadro para que os alunos copiem em seus cadernos.
Vimos na aula de hoje que a sequência de Fibonacci possui os dois primeiros termos iguais a 1 e, a partir do terceiro termo, ela é formada pela soma dos dois termos imediatamente anteriores, podendo ser representada da seguinte forma:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …
A razão encontrada na atividade Mão na Massa se aproxima do Número de Ouro da matemática, que vale aproximadamente 1,618, resultando no que chamamos de razão áurea. Ele é geralmente representado pela letra grega φ (phi):
φ ≈ 1,618
Por isso, dizemos que um retângulo que possui a razão entre seus lados dada pelo Número de Ouro é chamado de retângulo áureo.
Raio X
Para encerrar a aula, peça para que os alunos resolvam individualmente a atividade a seguir:
Qual dos retângulos a seguir mais se aproxima de um retângulo áureo? Justifique seu raciocínio.
Resp: Calculando a razão entre o lado maior e o lado menor, temos:
- Retângulo I = 13/9 = 1,444…
- Retângulo II = 15/6 = 2,5
- Retângulo III = 16/10 = 1,6
Assim, a razão mais próxima de 1,618 é a do Retângulo III, sendo este que mais se aproxima de um retângulo áureo.