Generalização de áreas

Proponha à turma o seguinte problema: "Qual é a razão que existe entre a área de um quadrado e a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios desse quadrado?". Divida a turma para que trabalhem em duplas ou trios, distribua as folhas de papel quadriculado e peça que tentem demonstrar, no papel, as respostas para a questão proposta. Se for preciso, retome as definições de quadrilátero, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado e figuras equivalentes.

Explique que os alunos podem desenhar quadrados de quaisquer tamanhos e as justificativas podem se basear no teorema de Pitágoras ou simplesmente na divisão do quadrado original em figuras equivalentes, como mostra a Figura 1, de forma que possam concluir que a área do quadrado original é o dobro da área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado original. Caso os alunos calculem a área do quadrilátero interno como o sendo o produto dos lados, devem antes justificar o porquê desse procedimento. 

Figura 1: quadrado ABCD decomposto em triângulos.

Em seguida, proponha as seguintes perguntas:

1) qual é o nome do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um retângulo?
2) Qual é a razão entre a área do retângulo e a área desse quadrilátero?

Peça que os alunos redijam suas justificativas. Elas podem ser apresentadas aos colegas e discutidas. A justificativa para a primeira pergunta pode se basear no teorema de Pitágoras ou no critério L.A.L. de congruência de triângulos. A figura 2 mostra uma possível divisão do retângulo em figuras equivalentes, que pode ser utilizada pelos alunos para justificar o fato de a área do retângulo ABCD ser o dobro da área do losango EFGH.

Figura 2: Retângulo ABCD e losângulo EFGH.

Proponha que os alunos investiguem qual é o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um losango e, posteriormente, determinem qual a razão entre as áreas do losango e do quadrilátero. A resposta para a razão entre as áreas é, novamente, 2 para 1. A turma deve demonstrar que, embora os triângulos da decomposição não sejam congruentes, são equivalentes.

Estimule e oriente os alunos a encontrarem argumentos para o fato de que o quadrilátero EFGH, mostrado na figura 3, ser retângulo. Como isto pode ser justificado de muitas formas diferentes, a consequência é a riqueza de argumentos que surgirão na fase das exposições. 

Figura 3: Losango ABCD e retângulo EFGH.

Peça, então, que os alunos investiguem a mesma situação, mas agora no caso em que o quadrilátero original seja um paralelogramo. Utilize como base a figura 4, em que o quadrilátero ABCD é paralelogramo e o quadrilátero EFGH também e a área do primeiro é o dobro da área do segundo. Trabalhe as redações dos alunos, cuidando para que, sem prejuízo das ideias, possam ser claros e rigorosos em suas apresentações.

Figura 4: Paralelogramos ABCD e EFGH divididos em triângulos equivalentes e congruentes.


Aparentemente distintos os problemas apresentados nas etapas precedentes podem ser generalizados. Apresente, então, o seguinte problema à moçada:

- Determine a razão entre as áreas de um quadrilátero qualquer, e o quadrilátero que se obtém unindo os pontos médios dos lados desse quadrilátero.

Mostre à turma que o resultado obtido - de que a área do primeiro quadrilátero é o dobro da área do segundo - é válido tanto para quadriláteros convexos quanto para não convexos. A figura 5 mostra um quadrilátero qualquer ABCD, o quadrilátero obtido ao se unirem os pontos médios de seus lados.

Figura 5: A área do quadrilátero EFGH é metade da área do quadrilátero ABCD

Em seguida, apresente aos alunos o teorema da base média:

E explique que ele representa a generalização dos resultados obtidos anteriormente para quadriláteros particulares (quadrados, retângulos, losangos e paralelogramos).

Para finalizar a atividade, apresente aos alunos alguns quadriláteros, dê a medida de seus lados e peça que calculem suas áreas e as áreas das figuras formadas pela junção de seus pontos médios, utilizando como base o teorema estudado.