Matéria de capa | Matemática | 9º ano | Reportagens

Ênfase em álgebra e funções

Como esse é o tema que reúne o maior número de descritores, também está representado por uma quantidade maior de questões. A análise e as orientações didáticas a seguir são de Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura, professora de Matemática da Escola da Vila, em São Paulo, que indicou atividades diversificadas para aprimorar as habilidades da turma

POR:
NOVA ESCOLA
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1
O desenho abaixo representa um sólido.

Análise A questão trabalha com a planificação de um sólido geométrico. Deve-se reconhecer, em primeiro lugar, a quantidade de faces dele e, em seguida, considerar que as faces triangulares se opõem.
Orientações Proponha, entre outras atividades, a construção de sólidos geométricos, principalmente prismas e pirâmides. Uma sugestão de atividade consiste em apresentar aos alunos diferentes sólidos e planificações de cada um deles. Depois, solicite que decidam qual planificação se relaciona ao sólido escolhido. Eles têm ainda de elaborar critérios de escolha, listando o que consideraram e descartaram na escolha da alternativa. A atividade evidencia que um mesmo sólido pode apresentar diferentes planificações e que o número de faces e seu posicionamento no plano estão relacionados.

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2
Observe as figuras abaixo.

Considerando essas figuras,
(A) os ângulos do retângulo e do quadrado são diferentes.
(B) somente o quadrado é um quadrilátero.
(C) o retângulo e o quadrado são quadriláteros.
(D) o retângulo tem todos os lados com a mesma medida.

Análise O quadrado e o retângulo têm lados paralelos dois a dois e todos os ângulos internos retos. O quadrado é o quadrilátero regular: todas as medidas de seus lados são iguais. Esses conhecimentos são essenciais para encontrar a alternativa correta.
Orientações Peça que a garotada copie uma figura, com base num modelo à vista, usando os instrumentos geométricos que julgar necessários (jogo de esquadros, régua, compasso e transferidor). Em seguida, restrinja o material apenas a régua e compasso. Outra alternativa: construir quadrados e retângulos com o software Logo (disponível para download gratuito). Para isso, deve-se "manobrar" uma tartaruga para a direita e a esquerda, exercitando a noção de ângulo e giro, associada às características das duas figuras.


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3
Observe a figura abaixo.

Considere o lado de cada quadradinho como unidade de medida de comprimento. Para que o perímetro do retângulo seja reduzido à metade, a medida de cada lado deverá ser
(A) dividida por 2.
(B) multiplicada por 2.
(C) aumentada em 2 unidades.
(D) dividida por 3.

Análise Neste item, é preciso saber que o perímetro se referea determinado comprimento, que é uma medida linear. Dessa maneira, para reduzi-lo à metade, é preciso dividir todos os lados por 2. A malha quadriculada facilita a exploração da questão, pois permite usar o recurso de desenhar a figura para encontrar a resposta.
Orientações Apresente à classe um retângulo e sugira que alterem apenas uma de suas dimensões. Em seguida, discuta o que acontece com o perímetro e com a área. Se dobrarmos o comprimento do retângulo, seu perímetro dobrará? E a área? Prossiga, mudando a outra dimensão. Depois, proponha a modificação das duas dimensões e analise coletivamente as consequências obtidas no perímetro e na área. Pergunte: ao dobrar a altura do retângulo e triplicar o comprimento, o que acontece com a área e com o perímetro?


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4
Os 2 ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às 8 horas medem

(A) 60° e 120°.
(B) 120° e 160°.
(C) 120° e 240°.
(D) 140° e 220°.

Análise O aluno deve levar em conta a ideia de que, em uma circunferência, o ângulo central vale 360º (apenas as alternativas C e D somam esse valor). Do mesmo modo, no relógio há 12 pontos importantes, referentes às 12 horas. O ângulo formado entre duas marcações (por exemplo, 3 e 4) é 30º. Assim, às 8 horas temos essa abertura aparecendo quatro vezes, o que leva à conclusão de que omenor ângulo certamente mede 120º. Para completar 360º, restam 240º.
Orientações O uso do relógio é um recurso bem interessante para trabalhar com a meninada o conceito de ângulo relacionado às ideias de abertura e giro.


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5
Ampliando o triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A'B'C', em que cada lado é o dobro do seu correspondente em ABC.

Em figuras ampliadas ou reduzidas, os elementos que conservam a mesma medida são
(A) as áreas.
(B) os perímetros.
(C) os lados.
(D) os ângulos.

Análise O trabalho de ampliação e redução de figuras traz ao aluno a noção de semelhança de figuras planas (homotetia). Esse tipo de atividade contribui para a observação de que é a manutenção dos ângulos dos vértices o que permite às formas ser correspondentes.
Orientações O uso de diferentes malhas (quadriculada, retangular etc.) ajuda a compreender que quando se alteram os ângulos de uma figura há uma distorção na que é obtida e elas deixam de ser semelhantes. Complemente o trabalho nessa área com instrumentos geométricos com a utilização de softwares de geometria dinâmica. Um exemplo é o Geogebra (com download gratuito). A vantagem desse recurso está na rapidez da construção e na possibilidade de alteração de uma determinada figura e a verificação, quase imediata, da consequência sobre a que foi construída.


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6
Observe o triângulo abaixo.

O valor de x é
(A) 110°.
(B) 80°.
(C) 60°.
(D) 50°.

Análise Para encontrar o valor de "X", há duas estratégias. A primeira é baseada no teorema do ângulo externo, segundo o qual um ângulo externo ao triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. Na segunda estratégia, deve-se descobrir o valor do suplemento de 110º (já que juntos esses ângulos formam um ângulo raso, isto é, de 180º) e, em seguida, considerar que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.
Orientações Peça que os jovens construam triângulos com dois ângulos retos, com um ângulo reto e outro obtuso e, por fim, com um ângulo reto e outro agudo para que concluam quais são possíveis. Em seguida, proponha que eles defendam seus pontos de vista para a classe.


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7
Observe a figura.

Quais as coordenadas de A, B e C, respectivamente, no gráfico?
(A) (1,4), (5,6) e (4,2)
(B) (4,1), (6,5) e (2,4)
(C) (5,6), (1,4) e (4,2)
(D) (6,5), (4,1) e (2,4)

Análise Localizar pontos no plano cartesiano requer a compreensão de que são necessárias duas informações que, por convenção, são dadas pelo par ordenado (x; y). Além disso, para resolver a questão proposta, o aluno deve supor os valores intermediários ou contar as linhas no eixo x e no eixo y, que não estão explícitos, considerando que cada quadradinho equivale a 1.
Orientações O jogo de batalha naval ajuda na compreensão do uso de um par de informações para a determinação de cada ponto no plano cartesiano além da ordem preestabelecida para a identificação correta do ponto desejado. Outra opção é a leitura e a localização de endereços em guias de rua, em que as coordenadas são representadas por letras e números, referentes à informação horizontal e à vertical.


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8
O piso de entrada de um prédio está sendo reformado. Serão feitas duas jardineiras nas laterais, conforme indicado na figura, e o piso restante será revestido de cerâmica.

Qual é a área do piso que será revestido de cerâmica?
(A) 3 m²
(B) 6 m²
(C) 9 m²
(D) 12 m²

Análise Há maneiras distintas de resolver essa questão. Uma delas envolve calcular a área do retângulo correspondente ao piso (4 metros x 3 metros) e descontar a área do retângulo formado pelos dois triângulos retângulos justapostos (que formam um retângulo de 1 metro x 3 metros), chegando aos 9 metros.
Orientações Em aula, o uso de malhas quadriculadas auxilia a interpretação das figuras e permite que diferentes estratégias surjam entre os jovens. Uma atividade interessante pode ser a representação, em escala, de diferentes cômodos para que a garotada calcule o custo para revestir o piso. O trabalho, além de desenvolver a noção de área de uma superfície, coloca em prática as noções de escala, a conversão de unidades de medida de comprimento e área e a questão da proporcionalidade, já que os alunos deverão estimar o custo total do material utilizado.


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9
Observe os números que aparecem na reta abaixo.

O número indicado pela seta é
(A) 0,9.
(B) 0,54.
(C) 0,8.
(D) 0,55.

Análise Uma alternativa para responder é contar. Outra é associar os números dados às medidas: 0,5 como substituto de 0,5 metro e 0,6 como 0,6 metro, ou 60 centímetros, o que dá um significado aos valores intermediários.
Orientações Utilize problemas como este, ora representando o número racional na forma fracionária, ora na decimal. Peça que os alunos escrevam cinco números entre 2 e 3. Depois, cinco entre 2,5 e 3 e assim sucessivamente. A continuidade da atividade pode ser a interpolação de números racionais entre duas frações com denominadores iguais a potências de 2. Por exemplo, inserir três frações entre 1/2 e 3/4, para em seguida, usar denominadores quaisquer.


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10
Ao resolver corretamente a expressão -1 - (-5).(-3) + (-4).3 : (-4), o resultado é
(A) -13.
(B) -2.
(C) 0.
(D) 30.

Análise Para resolver o desafio,deve-se dominar as regras relativas aos sinais resultantes de alguns cálculos e saber que numa expressão resolvem-se primeiro as divisões e as multiplicações e, depois, as adiçõese as subtrações.
Orientações Durante o trabalho, sugira que a turma se apoie na reta numérica, que serve de controle na resolução de problemas. As ideias de número simétrico e número oposto também ajudam nessa construção. Explore o fato de a soma de um número inteiro com seu simétrico ser zero(3 + (-3) = 0). Exemplo: a compreensão do número oposto facilita a resolução de expressões aritméticas. Assim - (-4) = + 4, ou seja, o oposto de -4 é o número +4.


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11
Pedro e João jogaram uma partida de bolinhas de gude. No final, João tinha 20 bolinhas, que correspondiam a 8 bolinhas a mais que Pedro. João e Pedro tinham juntos
(A) 28 bolinhas.
(B) 32 bolinhas.
(C) 40 bolinhas.
(D) 48 bolinhas.

Análise Aqui é necessário compreender que Pedro tem 8 bolinhas a menos que João e saber quantas são elas para depois somar as bolinhas dos dois.
Orientações Explore problemas que envolvam as expressões "a mais" e "a menos", que pode gerar dúvidas. A associação direta com a adição (pelo uso da palavra mais) e da subtração (com relação à palavra menos) precisa ser descartada. Logo, vale a pena trabalhar muito os enunciados, dando diferentes sentidos a essas expressões e colocando em discussão o contexto e não simplesmente usar a intuição, por vezes de forma equivocada, associando a operação ao texto escrito.


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12
Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas.

Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez,a distância entre ela e o carrinho era de
(A) -11 m.
(B) 11 m.
(C) -27 m.
(D) 27 m.

Análise É necessário reler a tabela, compreender as informações e, em seguida, decidir qual a operação indicada para solucionar a situação-problema. O aluno pode agrupar todos os valores positivos e todos os negativos e em seguida calcular ou resolver as operações na ordem em que aparecem.
Orientações Apresente aos estudantes problemas com o objetivo de que analisem os números e decidam qual a melhor estratégia de resolução - sem que seja necessário fazer os cálculos. Em seguida, discuta coletivamente os prós e os contras de cada uma delas. Dessa forma, o aluno pode escolher a estratégia que achar mais indicada e com a qual se identifica melhor. Com isso, terá um controle maior da resolução.


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13
A fração 3/100 corresponde ao número decimal
(A) 0,003.
(B) 0,3.
(C) 0,03.
(D) 0,0003.

Análise Os números racionais podem ser apresentados na forma fracionária e na decimal. A transformação de uma em outra está associada à leitura da fração relacionada a décimos, centésimos, milésimos etc. Esse conhecimento é a base para acertar o item.
Orientações Proponha atividades com a multiplicação e a divisão por 10, 100 e 1.000 para que a turma aprenda que as posições à direita da vírgula representam décimos, centésimos etc. e conservam as relações de agrupamentos de 10 herdadas do nosso sistema de numeração decimal.


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Nas figuras abaixo, as áreas escuras são partes tiradas do inteiro. A parte escura que equivale aos 3/5 tirados do inteiro é

Análise Ao ler a fração, é necessário reconhecer quais círculos foram divididos em cinco partes e, entre eles, localizar em que figura a parte escura corresponde a três.
Orientações Colocar os jovens para pensar sobre o significado dos conceitos matemáticos é um exercício muito importante. Um exemplo: após discutir o tema em sala, peça que escrevamum texto explicando para uma criança o que é 3/5. A relação parte/todo é apenas um dos significados de um número racional na forma fracionária. Discuta também o fato de uma fração poder demonstrar o resultado de uma divisão. Dessa maneira, está ligada ao quociente de dois números naturais. Lembre que ela ainda representa uma constante de proporcionalidade, como uma escala, uma velocidade ou uma porcentagem.


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15
Observe as figuras:

Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver quem comia mais pedaços de pizza. Pediram duas pizzas de igual tamanho. Pedrinho dividiu a sua em oito pedaços iguais e comeu seis. José dividiu a sua em doze pedaços iguais e comeu nove. Então,
(A) Pedrinho e José comeram a mesma quantidade de pizza.
(B) José comeu o dobro do que Pedrinho comeu.
(C) Pedrinho comeu o triplo do que José comeu.
(D) José comeu a metade do que Pedrinho comeu.

Análise Neste problema, o aluno deve reconhecer a equivalência entre 6/8 e 9/12. Da maneira apresentada, com os desenhos das pizzas, ele pode lançar mão da representação gráfica, colorindo cada uma delas conforme dito no enunciado e, assim, concluir que as partes coloridas são iguais. O esperado, no entanto, é que ele saiba simplificar ambas as frações (6/8=3/4 e 9/12=3/4 ).
Orientações Em sala, proponha desafios como o pedido na prova e outros para dar um novo sentido a esse conceito. Depois, proponha questões em que a figura não aparece. Assim, as crianças mobilizam o conceito sem o apoio de numa representação gráfica, o que aumentao grau do desafio.


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O número decimal que é decomposto em 5 + 0,06 + 0,002 é
(A) 5,62.
(B) 5,602.
(C) 5,206.
(D) 5,062.

Análise Para resolver o item, é preciso reconhecer os números decimais como um sistema no qual a primeira casa depois da vírgula representa os décimos, a segunda, os centésimos, a terceira, os milésimos etc.
Orientações Além de trabalhar o significado de cada posição na escrita decimal, explicite relações aritméticas nela e o valor posicional de cada algarismo (5 inteiros, 6 centésimose 2 milésimos). Para trabalhar o valor posicional, programe atividades usando a calculadora.


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17
A estrada que liga Recife a Caruaru será recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Uma fração que corresponde à terceira etapa é
(A) 1/5.
(B) 5/12.
(C) 7/12.
(D) 12/7.

Análise Aqui, espera-se que o aluno procure uma fração equivalente a cada uma das que foram dadas para efetuar a soma. Ele precisa levar em conta o fato de o denominador ser, ao mesmo tempo, um número múltiplo de 4 e de 6. Em seguida, deve considerar a fração que falta para completar o inteiro.
Orientações Vale a pena trabalhar problemas em que as frações superem o inteiro ou não o completem. Exemplo: Maria leu 1/3 de um livro num dia e 1/4 no outro. Contou para Pedro, que disse: "Que bom! Faltam apenas 2/5 para você terminar!" Pedro está correto? Por quê? Promova a discussão coletiva e observe os argumentos da garotada, que deve concluir que o menino estava errado, já que a soma das frações (59/60) não completa o inteiro.


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18
O número irracional ?7 está compreendido entre os números
(A) 2 e 3
(B) 13 e 15
(C) 3 e 4
(D) 6 e 8

Análise A solução para a questão envolve intercalar o número 7 entre os dois números quadrados perfeitos mais próximos a ele, ou seja, 4 e 9. Matematicamente, podemos escrever 4 < 7 < 9, ou seja, ?4 < ?7 < ?9 => 2 < ?7 < 3.
Orientações Uma atividade interessante pode ser pedir a localização na reta numérica do valor de raízes de índice par. Para isso, o uso de compasso e do teorema de Pitágoras é fundamental. Esses recursos permitem a visualização geométrica do número racional, o que facilita a compreensão dele. Quando o aluno consegue enxergar na reta onde o número está, fica mais fácil compreender sua existência.


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Distribuímos 120 cadernos entre as 20 crianças da 1ª série de uma escola. O número de cadernos que cada criança recebeu corresponde a que porcentagem do total de cadernos?
(A) 5%
(B) 10%
(C) 15%
(D) 20%

Análise A solução do desafio se dá em duas etapas: a primeira é determinar quantos cadernos cada criança recebeu com o cálculo 120 : 20 = 6. Se são seis cadernos de 120, pode-se estabelecer a proporção em termos percentuais. Os 120 representam o todo (100%). Assim, 6 de 120 correspondem a x% de 100%. 6/120 = x/100, ou seja, 1/20 = x/100. Portanto, x = 5.
Orientações Proponha atividades com porcentagem associadas ao trabalho com frações equivalentes e representações na forma decimal dos números racionais. Isso facilita a compreensão da relação entre as diferentes escritas e também que o valor relacionado a elas é equivalente.


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20
No supermercado Preço Ótimo, a manteiga é vendida em caixinhas de 200 gramas. Para levar para casa 2 quilogramas de manteiga, Marisa precisaria comprar
(A) 2 caixinhas.
(B) 4 caixinhas.
(C) 5 caixinhas.
(D) 10 caixinhas.

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21 O desenho de um colégio foi feito na seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5m. A representação ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura real, em metros, do colégio?
(A) 2,0.
(B) 12,5.
(C) 50,0.
(D) 125,0.

Análise A resposta à primeira questão envolve o seguinte raciocínio: se uma caixinha corresponde a 200 gramas, 10 correspondem a 2.000 gramas = 2 quilos. Com relação ao segundo item, uma das maneiras para estabelecer a relação de proporcionalidade é encontrar o equivalente a uma unidade: 4 centímetros do desenho correspondem a 5 metros e 1 centímetro corresponde a 1,25 (5 : 4). Portanto, 10 centímetros equivalem a 12,5 metros (10 x 1,25).
Orientações Sobre a primeira questão, em sala, trabalhe com conversão de unidades para que o aluno desenvolva essa habilidade. Isso pode ser feito em exercícios de transformação direta, como passar 3 quilômetros para metros, ou dentro de uma situação-problema em que a resolução obrigue à conversão. Se ele compreende essa equivalência entre as unidades e seus múltiplos e submúltiplos, fica fácil estabelecer a relação de proporcionalidade. Sobre o segundo item, proponha atividades envolvendo escala, velocidade e porcentagem em que se possa explorar duas maneiras de resolver o problema, sendo que cada uma delas tem suas vantagens, dependendo do problema a ser resolvido. Exemplo: em uma maquete de um prédio a porta de entrada mede 2 centímetro. Se o tamanho real da porta é de 2 metros, qual foi a escala utilizada para construir a maquete?


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Dada a expressão:

Sendo a = 1, b = -7 e c = 10, o valor numérico de x é
(A) -5.
(B) -2.
(C) 2.
(D) 5.

Análise O item requer recuperar a hierarquia das operações e inserir corretamente na Fórmula de Bháskara, apresentada na questão, cada valor fornecido, não se esquecendo de respeitar os sinais que esses números trazem consigo.
Orientações Essa questão retoma a resolução de expressões numéricas apoiando-se em uma fórmula conhecida pelos alunos (Bháskara). Ela trabalha também a hierarquia das operações, de forma combinada. Para tratar do tema em classe, varie os números que serão substituídos na fórmula, usando racionais na forma fracionária e na forma decimal. Variando o campo numérico, muda também o grau de dificuldade da questão.


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Lucas comprou 3 canetas e 2 lápis, pagando R$ 7,20. Danilo comprou 2 canetas e 1 lápis, pagando R$ 4,40. O sistema de equações do 1º grau que melhor representa a situação é

Análise Para representar, matematicamente, a situação descrita no enunciado do problema, deve-se reconhecer que cada frase descreve uma equação linear de duas variáveis (nesse caso, canetas e lápis) e que o conjunto solução do sistema está relacionado com os valores que satisfazem ao mesmo tempo ambas as equações.
Orientações Aborde esse conteúdo com atividades de representação geométrica das equações lineares, apoiando-se na ideia de função como relação de dependência entre duas variáveis. Depois, discuta o significado gráfico (ou geométrico) da solução de um determinado sistema de equações. É possível fazer as construções dos gráficos de diferentes funções usando softwares gratuitos, como o Graphmatica e o Geogebra


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Observe o gráfico abaixo.

O gráfico representa o sistema

Análise Primeiro, é preciso identificar cada uma das equações de primeiro grau com duas variáveis. Em seguida, entender que a solução do sistema é o ponto do plano cartesiano (x; y) que ao mesmo tempo satisfaz ambas as equações e está representado pela intersecção das retas. Ainda é possível utilizar a resolução algébrica, obtendo x = 2 e y = 1.
Orientações Antes de apresentar o sistema de duas equações com duas incógnitas, discuta o número de soluções possíveis para uma equação. Por exemplo, y = x - 1 é uma equação de 1º grau com duas variáveis que pressupõem infinitas possibilidades de solução. Depois, peça que os jovens representem graficamente esse conjunto. Assim, ao associar uma segunda equação, fica mais fácil para o aluno entender o significado da intersecção das retas. Sistemas sem solução ou com infinitas, quando representados graficamente, ganham um novo significado.


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Observe o gráfico.

Veja / Sua Saúde. Ano 34 - nº12/2001

Ao marcar no gráfico o ponto de interseção entre as medidas de altura e peso, saberemos localizar a situação de uma pessoa em uma das três zonas. Para aqueles que têm 1,65 m e querem permanecer na zona de segurança, o peso deve manter-se, aproximadamente, entre
(A) 48 e 65 quilos.
(B) 50 e 65 quilos.
(C) 55 e 68 quilos.
(D) 60 e 75 quilos.

Análise Cabe ao estudante, em primeiro lugar, identificar as grandezas representadas no gráfico: altura de uma pessoa (em metros) e peso (em quilos). Depois, ao ler o enunciado, é preciso compreender que o problema solicita o peso, na zona de segurança, de uma pessoa de 1,65 metro. A identificação dessa zona faz parte da leitura do gráfico.
Orientações No site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (www.ibge.gov.br) estão disponíveis gráficos e tabelas que podem ser usados no desenvolvimento do trabalho com leitura e interpretação de informações desse tipo. Faça esse trabalho também com jornais. Depois, discuta sobre a clareza dos gráficos e a veracidade dos dados e, em última instância, faça uma análise mais profunda sobre a pertinência ou não do recurso na reportagem de que faz parte.


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A tabela ao lado mostra as temperaturas mínimas registradas durante uma semana do mês de julho numa cidade do Rio Grande do Sul.

Qual é o gráfico que representa a variação da temperatura mínima nessa cidade, nessa semana?

Análise Nesse item, é necessário ler os dados da tabela e comparar com os gráficos apresentados para identificar em qual deles a informação foi apresentada corretamente.
Orientações Em aula, trabalhe com a construção de gráficos em papel milimetrado, com base numa tabela de valores, destacando com a turma, por exemplo, se as grandezas envolvidas são discretas ou contínuas. Complemente a discussão, apresentando um novo gráfico e pedindo que todos construam a tabela de valores associada a ele. O uso de planilhas eletrônicas, que geram gráficos com base em alguns dados, pode contribuir no trabalho.