Teorema de Tales: proporção aplicada à Geometria

Três paralelas cortadas por duas transversais, formando quatro segmentos. Essa imagem, como a do desenho à esquerda, é a representação mais clássica do teorema de Tales. Os exercícios escolares normalmente apresentam essa figura e dão valores a três dos quatro segmentos. O desafio do aluno é descobrir o segmento cuja medida é proporcional ao outro e encontrar o número desconhecido fazendo uso da regra de três. Se o professor não colocar novos problemas para serem resolvidos nas aulas, o ensino do teorema parece finalizado. Mas é possível ir além - afinal de contas, há aplicações muito mais amplas e instigantes (leia diversos problemas e possíveis equívocos na próxima página). Em linhas gerais, o teorema de Tales é a proporcionalidade aplicada à geometria. "Por isso, é essencial diagnosticar se os alunos entendem a ideia de proporcionalidade ou precisam consolidar conceitos geométricos", diz o professor Luiz Marcio Imenes, mestre em Educação Matemática e autor de livros didáticos. Como visto na primeira reportagem desta série, na edição de agosto de 2010, a proporcionalidade ocorre quando existe a mesma variação (chamada de razão) de valores em duas grandezas. Por exemplo: se a medida de um lado da figura dobra, o outro também deve dobrar. Quando um deles triplica, ocorre a mesma mudança com o outro. Uma forma de retomar o assunto é propor problemas em que exista ou não a proporcionalidade, ou casos em que as variações não são aleatórias. Também é fundamental garantir que os alunos entendam os termos geométricos usados em Tales (paralelas, transversais e segmentos).

Passada essa etapa, introduza o teorema de Tales com a análise do desenho de um triângulo que tenha lados de medidas diferentes cortado na metade de sua altura por uma linha paralela à base. É possível ver que o lado que mede, digamos, 12 centímetros, ficará com duas partes de 6 centímetros e o lado de 18 centímetros vai ter outros dois segmentos com 9 centímetros. Em seguida, uma sugestão é mostrar o mesmo triângulo com uma paralela que cruze o desenho formando segmentos de 10 e 2 centímetros em um dos lados e 15 e 3 centímetros no outro. Diante desse contexto, a turma precisa descobrir qual a relação entre os segmentos e os lados. A chave será encontrar a razão de proporcionalidade entre os segmentos de um mesmo lado, o que é calculado dividindo 10 por 2 ou 15 por 3 (razão 5). Aí, então, discuta com os alunos uma regra básica do teorema de Tales: existe a proporção entre segmentos de transversais que são delimitadas por paralelas.

De olho na proporção das figuras geométricas, os adolescentes podem encontrar diversas medidas (leia a sequência didática). Ao pedir que o aluno trace uma transversal de 4 centímetros e a divida em 3 e 1 centímetros por uma paralela, ele pode concluir que a outra transversal terá um segmento com tamanho três vezes maior que a outra. Esse e outros raciocínios são válidos - o importante é intermediar as discussões e tomar os erros e acertos como um material de debate com a turma.

Enunciados, respostas equivocadas e análises
Nos exemplos abaixo estão alguns problemas que envolvem, explicitamente ou nem tanto, o teorema de Tales. Veja algumas possíveis resoluções de alunos e como interpretá-las

Um jardineiro divide um canteiro triangular e encontra as medidas a seguir. Qual a extensão do trecho marcado com x e por quê?

Resolução do aluno
5, porque 2 + 6 = 8 e 8 - 3 = 5

Comentário O aluno ainda não entendeu a proporcionalidade e pensa que todo triângulo tem dois lados iguais, ou seja, é isósceles. Ao verificar que um lado é maior e que há a proporção de 3 para 1, vai concluir que a resposta é 9.

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Num bairro em que os quarteirões têm os tamanhos mostrados na figura abaixo, qual o comprimento aproximado da praça?

Resolução do aluno 
Não sei.

Comentário O estudante não visualizou as paralelas e transversais nem aplica a geometria em situações reais. A resposta tanto de

como de

seria 70.

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Um turista resolveu contar em passos a distância do obelisco da cidade que visitava até o primeiro cruzamento de cada uma das quatro ruas que começavam ali. Quando terminou de percorrer a terceira, percebeu que os quarteirões formavam paralelas. Ele consegue saber quantos passos terá o último trecho com base nas medidas anotadas no mapa?

Resolução do aluno

Comentário

O estudante considerou proporcionais dois segmentos de retas diferentes. O correto seria

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Um fazendeiro quer construir uma ponte de um extremo a outro de um lago, como o mostrado no desenho à direita, mas primeiro precisa saber quanto mede essa extensão. Como ele pode descobrir?

Resolução do aluno

Comentário

Muitos pensam que as paralelas e transversais precisam existir para aplicar Tales, sem enxergar a possibilidade de criá-las. Nesse esquema, foram traçadas duas paralelas: uma na base do lago e outra mais distante. Entre elas, formou-se um segmento (c) contínuo à transversal que se visualiza sobre o lago (d). Outra transversal foi criada em um ponto onde o fazendeiro poderia fazer a medição (formando os segmentos a, b).

Quando paralelas e transversais não estão evidentes

Para ampliar a variedade de situações em que o teorema de Tales é aplicado, vale trabalhar em sala de aula com enunciados em que não haja distâncias nem medidas conhecidas. Isso porque esses problemas podem ser resolvidos, mesmo que não haja informações evidentes - nem números nem transversais ou paralelas que se cruzam. O caminho nesses casos é pensar em transversais e paralelas em volta de uma figura qualquer e traçar segmentos que possam ser úteis para o cálculo das medidas desconhecidas, como no exemplo do lago (descrito no problema da página anterior). "O ensino de geometria implica outro modo de pensar. Não é só conhecer uma fórmula, mas saber encaixá-la em uma situação", afirma Cecília Lamela, professora da área de Didática da Matemática da Universidade de Buenos Aires, na Argentina.

Além de ferramenta para a resolução de problemas, o teorema de Tales é uma oportunidade de discutir como a ciência da Matemática é aperfeiçoada. Tales de Mileto (século 6 a.C.) foi o primeiro a usar a dedução para chegar a uma medida (com isso, é considerado um dos fundadores da geometria dedutiva). Ele verificou que poderia calcular alturas de pessoas e construções com base em suas sombras. Duzentos anos depois, o pesquisador Euclides (século 4 a.C.) se apoiou nessa constatação e formulou o teorema que afirma que duas transversais interceptadas por um feixe de paralelas têm segmentos proporcionais. Em homenagem ao pioneiro, batizou a criação de teorema de Tales.