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Plano de aula - Semelhanças e Fractais

Plano de aula de Matemática com atividades para 6ºano do Fundamental sobre Ampliação, redução e semelhança.

Plano 03 de 5 • Clique aqui e veja todas as aulas desta sequência

Plano de aula alinhado à BNCC • POR: Paula Vieira Soares

ESTE É UM CONTEÚDO PARA O SAEB Ver Mais >
 

Objetivo da aula select-down

Slide Plano Aula

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Paula Vieira

Mentora: Renata S. Gonçalves

Especialista de área: Pricilla Mendes Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF06MA20 - Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas.

Objetivos específicos

Aprofundar o estudo de semelhanças através de reduções e ampliações presentes em fractais.

Conceito-chave

Ampliação, redução e semelhança.

Recursos necessários

  • Régua;
  • Papel quadriculado;
  • Software Geogebra Classic 5 - download disponível: https://www.geogebra.org/download.

Sugestões de Leitura

Manual:

Manual Geogebra 5.0 (português) - https://wiki.geogebra.org/pt/Manual (visitado em 09/12/2017).

Software Geogebra online: https://www.geogebra.org/classic (visitado em 09/12/2017).

Ogeogebra - site com dicas e vídeos - http://ogeogebra.com.br/site/ (visitado em 09/12/2017).

Artigo:

VICHESSI, Beatriz. Sete respostas sobre o software Geogebra. Nova Escola: Prática Pedagógica, 01 de Agosto. 2011 - Disponível em: https://goo.gl/dAQqbP  (visitado em 09/12/2017).

SALLA, Fernanda. O que são fractais. Mundo Estranho. Publicado em 11 de Março de 2011. - Disponível em: https://mundoestranho.abril.com.br/ciencia/o-que-sao-fractais/  (visitado em 09/12/2017).

Paradidático:

MACHADO, Nílson José. Semelhança não é mera coincidência - (Coleção Vivendo a Matemática). Scipione, 2000.

Livro:

BOALER, Jo. Mentalidades Matemáticas. 1ª ed. Porto Alegre - RS. Penso, 2018

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática. Volume 9 -  Geometria Plana. São Paulo - SP. Atual, 2005 -


Tempo sugerido: 2 minutos

Orientação: Apresentar o objetivo da aula para os alunos (Caso não queira usar o slide, o objetivo pode ser escrito na lousa ou falado para os alunos).

Propósito: Fazer com que os alunos fiquem em estado de prontidão para a aula.

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos

Orientação:

Nessa atividade os alunos vão examinar o fractal matematicamente. A ideia é que percebam que tratam-se de reduções com razão constante entre um triângulo e seu sucessor. Os alunos podem ser divididos em duplas. Primeiramente, deixe que observem a figura e tirem suas próprias conclusões. Oriente a discussão para a relação entre os lados e a quantidades de triângulos que “cabe” no anterior.

Obs.: A contagem dos triângulos pode gerar contradições. Determine com eles o que vão considerar nesta contagem. Podem considerar, por exemplo, apenas os triângulos coloridos (verde, laranja, azul) ou pode considerar, além desses, os triângulos rosados do fundo, ou podem considerar os triângulos “menos visíveis, que estão no perímetro de um conjunto de triângulos (por exemplo, na figura, temos o segundo triângulo construído no meio e mais os pequenos. Na terceira figura podemos contar 4 triângulos (coloridos), podemos contar 13 triângulos (contando com os rosados), podemos contar 31 triângulos (considerando também aqueles que contornam um triângulo verde e três rosados e aqueles que contornam um triângulo laranja, três verdes e 9 rosados, etc). Há outras formas de contagem possíveis, e cada uma delas refere-se a um grau de observação mais complexo. Pode-se discutir um pouco essas contagens e determinar uma contagem comum, para que os resultados possam ser comparados mais facilmente.

Propósito: Perceber que existe uma razão de semelhança entre cada triângulo e o próximo menor que ele (a medida do lado de cada triângulo é o dobro da medida do lado da primeira redução do mesmo).

Discuta com a turma:

  • Qual a relação entre as medidas dos lados de um triângulo e sua primeira redução? E a segunda?

Materiais complementares:

Atividade aquecimento

Resolução atividade aquecimento

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 18 minutos.

Orientação:

Na atividade de Aquecimento, ele já examinou a figura e já deve ter verificado algumas propriedades importantes. No Geogebra ele pode verificar essas propriedades mais facilmente, testar hipóteses.

Eles podem verificar uma característica importante dos fractais: a auto semelhança. Isso significa que se eu for fazendo ampliações sucessivas eu sempre encontrarei uma formação semelhante à original. Isso pode ser verificado no Geogebra porque eles podem fazer ampliações e continuar construindo figuras cada vez menores e que são sempre semelhantes à original

Ele pode verificar as medidas dos lados com a ferramenta “Distância, Comprimento ou Perímetro” ou garantir essas medidas usando a ferramenta Polígono Regular na construção dos triângulos.

Se os triângulos não forem equiláteros, as propriedades principais do fractal ainda valem.

Mas se os triângulos não forem semelhantes, aí não estaremos mais fazendo um fractal e as figuras recorrentes serão diferentes da original.

Isso acontece quando não traçamos os vértices do próximo triângulo a partir do ponto médio do anterior. É isso que nós queremos, porque isso vai gerar discussões que nos interessam, portanto, se essa construção não surgir espontaneamente (normalmente ela surge), você pode fazer perguntas que os levem a isso. “E se eu não usar o ponto médio, o que acontece?”.

Quando tomamos os pontos médios, traçamos lados paralelos aos do triângulo maior e isso garante a congruência dos ângulos da figura maior e menor.

É um bom momento para discutir os casos de semelhança de triângulos, caso os alunos já tenham estudado ou falar brevemente sobre o caso dos três ângulos congruentes.

Propósito: Aprofundar o conceito matemático de Semelhança. Estimular a observação de figuras geométricas e suas propriedades. Pensar em um desenho infinito, abstrair a visualização de uma figura geométrica hipotética.

Discuta com a turma:

  • Qual a relação entre a área de uma figura e sua primeira redução? (caso eles tenham estudado o conceito de área);
  • Caso não tenham o conceito de área: Quantos triângulos menores eu preciso para formar um maior? (essa análise é uma introdução à idéia de área que pode ajudar no estudo futuro do conceito);
  • O fractal está associado ao conceito de infinito, que é bastante complexo apesar de parecer simples. Você pode pedir que eles ampliem uma parte da figura para fazer as partes menores. Pergunte: “Eu poderia continuar ampliando?”, “Em que ponto eu teria que parar?” (desconsiderando a limitação física do computador, poderíamos continuar infinitamente - para discutir essa idéia você pode esperar que digam onde teria que parar e pergunte: “E se eu chegar no menor triângulo possível, e ampliar ele, daria pra continuar?”. A idéia de infinito é muito importante na Matemática, mas bastante abstrata e distante do nosso dia a dia. Saber abstrair é uma habilidade fantástica no estudo da Matemática. Segundo Devlin (O Gene da Matemática. p. 29. 2004) a abstração é uma capacidade inerente a todo ser humano mas a aplicação dessa capacidade à Matemática é o problema. Por isso devemos tocar neste tema sempre que possível para que o aluno possa desenvolver essa capacidade ao máximo. Afinal, ela torna a relação com a Matemática muito mais significativa e divertida.
  • Materiais complementares:

Atividade principal

Resolução atividade principal

Guia de intervenção

Discussão da solução select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slides 5 e 6).

Orientação:

Esse é o momento de discutir algumas soluções diferentes com a sala toda. Preferencialmente utilize sempre exemplos dos próprios alunos. Você pode falar sobre a diferença entre a figura original e as figuras obtidas. Na figura superior, por exemplo, o desenvolvimento é cada vez mais interno e não infere com as partes externas de cada novo triângulo. Na última figura, não são usados triângulos semelhantes, o que pode até levar para uma sequência infinita de figuras, mas deixa de ser um fractal, pois ampliações diferentes levam a figuras diferentes. A idéia de infinito que está por trás do fractal e que aparece em todas as soluções apresentadas. Se algum aluno não utilizar essa idéia, é muito bom apresentar a resolução dele e discutir o caminho que foi tomado e que impediu a continuidade da construção.

Propósito: Estimular a compreensão de diferentes formas de raciocínio e identificar os raciocínios que levam a resultados diferentes. É importante fazer o aluno perceber que “diferente” não é sinônimo de “errado” e que o erro pode levar à uma compreensão mais significativa do acerto.

Discuta com a turma:

  • Por que é importante usar triângulos semelhantes?
  • Quais as condições para que haja semelhança?

Soluções diferentes select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slides 5 e 6).

Orientação:

Esse é o momento de discutir algumas soluções diferentes com a sala toda.Preferencialmente utilize sempre exemplos dos próprios alunos. Você pode falar sobre a diferença entre a figura original e as figuras obtidas. Na figura superior, por exemplo, o desenvolvimento é cada vez mais interno e não infere com as partes externas de cada novo triângulo. Na última figura, não são usados triângulos semelhantes, o que pode até levar para uma sequência infinita de figuras, mas deixa de ser um fractal, pois ampliações diferentes levam a figuras diferentes. A idéia de infinito que está por trás do fractal e que aparece em todas as soluções apresentadas. Se algum aluno não utilizar essa idéia, é muito bom apresentar a resolução dele e discutir o caminho que foi tomado e que impediu a continuidade da construção.

Propósito: Estimular a compreensão de diferentes formas de raciocínio e identificar os raciocínios que levam a resultados diferentes. É importante fazer o aluno perceber que “diferente” não é sinônimo de “errado” e que o erro pode levar à uma compreensão mais significativa do acerto.

Discuta com a turma:

  • Por que é importante usar triângulos semelhantes?
  • Quais as condições para que haja semelhança?

Encerramento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Retomar brevemente o que foi tratado neste aula.

Propósito: Dar um fechamento à aula.

Raio X select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação:

Apresente a atividade aos alunos e verifique se a questão está clara para eles. Deixe que pensem na atividade. Questões para estimular o raciocínio: “Como eu calculo a razão de semelhança entre dois retângulos semelhantes, por exemplo?”, “Qual a relação entre a figura 1 e a figura 2?”.

Propósito: Verificar se os alunos compreenderam o conteúdo tratado na aula. Aprofundar um pouco mais o conceito de razão de semelhança.

Discuta com a turma:

  • Razão de semelhança: O que é? Como calcular?

Materiais complementares:

Atividade raio x

Atividade complementar

Resolução atividade raio x

Resolução atividade complementar

Resumo da aula

download Baixar plano

Tempo sugerido: 2 minutos

Orientação: Apresentar o objetivo da aula para os alunos (Caso não queira usar o slide, o objetivo pode ser escrito na lousa ou falado para os alunos).

Propósito: Fazer com que os alunos fiquem em estado de prontidão para a aula.


Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Paula Vieira

Mentora: Renata S. Gonçalves

Especialista de área: Pricilla Mendes Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF06MA20 - Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas.

Objetivos específicos

Aprofundar o estudo de semelhanças através de reduções e ampliações presentes em fractais.

Conceito-chave

Ampliação, redução e semelhança.

Recursos necessários

  • Régua;
  • Papel quadriculado;
  • Software Geogebra Classic 5 - download disponível: https://www.geogebra.org/download.

Sugestões de Leitura

Manual:

Manual Geogebra 5.0 (português) - https://wiki.geogebra.org/pt/Manual (visitado em 09/12/2017).

Software Geogebra online: https://www.geogebra.org/classic (visitado em 09/12/2017).

Ogeogebra - site com dicas e vídeos - http://ogeogebra.com.br/site/ (visitado em 09/12/2017).

Artigo:

VICHESSI, Beatriz. Sete respostas sobre o software Geogebra. Nova Escola: Prática Pedagógica, 01 de Agosto. 2011 - Disponível em: https://goo.gl/dAQqbP  (visitado em 09/12/2017).

SALLA, Fernanda. O que são fractais. Mundo Estranho. Publicado em 11 de Março de 2011. - Disponível em: https://mundoestranho.abril.com.br/ciencia/o-que-sao-fractais/  (visitado em 09/12/2017).

Paradidático:

MACHADO, Nílson José. Semelhança não é mera coincidência - (Coleção Vivendo a Matemática). Scipione, 2000.

Livro:

BOALER, Jo. Mentalidades Matemáticas. 1ª ed. Porto Alegre - RS. Penso, 2018

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática. Volume 9 -  Geometria Plana. São Paulo - SP. Atual, 2005 -

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos

Orientação:

Nessa atividade os alunos vão examinar o fractal matematicamente. A ideia é que percebam que tratam-se de reduções com razão constante entre um triângulo e seu sucessor. Os alunos podem ser divididos em duplas. Primeiramente, deixe que observem a figura e tirem suas próprias conclusões. Oriente a discussão para a relação entre os lados e a quantidades de triângulos que “cabe” no anterior.

Obs.: A contagem dos triângulos pode gerar contradições. Determine com eles o que vão considerar nesta contagem. Podem considerar, por exemplo, apenas os triângulos coloridos (verde, laranja, azul) ou pode considerar, além desses, os triângulos rosados do fundo, ou podem considerar os triângulos “menos visíveis, que estão no perímetro de um conjunto de triângulos (por exemplo, na figura, temos o segundo triângulo construído no meio e mais os pequenos. Na terceira figura podemos contar 4 triângulos (coloridos), podemos contar 13 triângulos (contando com os rosados), podemos contar 31 triângulos (considerando também aqueles que contornam um triângulo verde e três rosados e aqueles que contornam um triângulo laranja, três verdes e 9 rosados, etc). Há outras formas de contagem possíveis, e cada uma delas refere-se a um grau de observação mais complexo. Pode-se discutir um pouco essas contagens e determinar uma contagem comum, para que os resultados possam ser comparados mais facilmente.

Propósito: Perceber que existe uma razão de semelhança entre cada triângulo e o próximo menor que ele (a medida do lado de cada triângulo é o dobro da medida do lado da primeira redução do mesmo).

Discuta com a turma:

  • Qual a relação entre as medidas dos lados de um triângulo e sua primeira redução? E a segunda?

Materiais complementares:

Atividade aquecimento

Resolução atividade aquecimento

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 18 minutos.

Orientação:

Na atividade de Aquecimento, ele já examinou a figura e já deve ter verificado algumas propriedades importantes. No Geogebra ele pode verificar essas propriedades mais facilmente, testar hipóteses.

Eles podem verificar uma característica importante dos fractais: a auto semelhança. Isso significa que se eu for fazendo ampliações sucessivas eu sempre encontrarei uma formação semelhante à original. Isso pode ser verificado no Geogebra porque eles podem fazer ampliações e continuar construindo figuras cada vez menores e que são sempre semelhantes à original

Ele pode verificar as medidas dos lados com a ferramenta “Distância, Comprimento ou Perímetro” ou garantir essas medidas usando a ferramenta Polígono Regular na construção dos triângulos.

Se os triângulos não forem equiláteros, as propriedades principais do fractal ainda valem.

Mas se os triângulos não forem semelhantes, aí não estaremos mais fazendo um fractal e as figuras recorrentes serão diferentes da original.

Isso acontece quando não traçamos os vértices do próximo triângulo a partir do ponto médio do anterior. É isso que nós queremos, porque isso vai gerar discussões que nos interessam, portanto, se essa construção não surgir espontaneamente (normalmente ela surge), você pode fazer perguntas que os levem a isso. “E se eu não usar o ponto médio, o que acontece?”.

Quando tomamos os pontos médios, traçamos lados paralelos aos do triângulo maior e isso garante a congruência dos ângulos da figura maior e menor.

É um bom momento para discutir os casos de semelhança de triângulos, caso os alunos já tenham estudado ou falar brevemente sobre o caso dos três ângulos congruentes.

Propósito: Aprofundar o conceito matemático de Semelhança. Estimular a observação de figuras geométricas e suas propriedades. Pensar em um desenho infinito, abstrair a visualização de uma figura geométrica hipotética.

Discuta com a turma:

  • Qual a relação entre a área de uma figura e sua primeira redução? (caso eles tenham estudado o conceito de área);
  • Caso não tenham o conceito de área: Quantos triângulos menores eu preciso para formar um maior? (essa análise é uma introdução à idéia de área que pode ajudar no estudo futuro do conceito);
  • O fractal está associado ao conceito de infinito, que é bastante complexo apesar de parecer simples. Você pode pedir que eles ampliem uma parte da figura para fazer as partes menores. Pergunte: “Eu poderia continuar ampliando?”, “Em que ponto eu teria que parar?” (desconsiderando a limitação física do computador, poderíamos continuar infinitamente - para discutir essa idéia você pode esperar que digam onde teria que parar e pergunte: “E se eu chegar no menor triângulo possível, e ampliar ele, daria pra continuar?”. A idéia de infinito é muito importante na Matemática, mas bastante abstrata e distante do nosso dia a dia. Saber abstrair é uma habilidade fantástica no estudo da Matemática. Segundo Devlin (O Gene da Matemática. p. 29. 2004) a abstração é uma capacidade inerente a todo ser humano mas a aplicação dessa capacidade à Matemática é o problema. Por isso devemos tocar neste tema sempre que possível para que o aluno possa desenvolver essa capacidade ao máximo. Afinal, ela torna a relação com a Matemática muito mais significativa e divertida.
  • Materiais complementares:

Atividade principal

Resolução atividade principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slides 5 e 6).

Orientação:

Esse é o momento de discutir algumas soluções diferentes com a sala toda. Preferencialmente utilize sempre exemplos dos próprios alunos. Você pode falar sobre a diferença entre a figura original e as figuras obtidas. Na figura superior, por exemplo, o desenvolvimento é cada vez mais interno e não infere com as partes externas de cada novo triângulo. Na última figura, não são usados triângulos semelhantes, o que pode até levar para uma sequência infinita de figuras, mas deixa de ser um fractal, pois ampliações diferentes levam a figuras diferentes. A idéia de infinito que está por trás do fractal e que aparece em todas as soluções apresentadas. Se algum aluno não utilizar essa idéia, é muito bom apresentar a resolução dele e discutir o caminho que foi tomado e que impediu a continuidade da construção.

Propósito: Estimular a compreensão de diferentes formas de raciocínio e identificar os raciocínios que levam a resultados diferentes. É importante fazer o aluno perceber que “diferente” não é sinônimo de “errado” e que o erro pode levar à uma compreensão mais significativa do acerto.

Discuta com a turma:

  • Por que é importante usar triângulos semelhantes?
  • Quais as condições para que haja semelhança?
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slides 5 e 6).

Orientação:

Esse é o momento de discutir algumas soluções diferentes com a sala toda.Preferencialmente utilize sempre exemplos dos próprios alunos. Você pode falar sobre a diferença entre a figura original e as figuras obtidas. Na figura superior, por exemplo, o desenvolvimento é cada vez mais interno e não infere com as partes externas de cada novo triângulo. Na última figura, não são usados triângulos semelhantes, o que pode até levar para uma sequência infinita de figuras, mas deixa de ser um fractal, pois ampliações diferentes levam a figuras diferentes. A idéia de infinito que está por trás do fractal e que aparece em todas as soluções apresentadas. Se algum aluno não utilizar essa idéia, é muito bom apresentar a resolução dele e discutir o caminho que foi tomado e que impediu a continuidade da construção.

Propósito: Estimular a compreensão de diferentes formas de raciocínio e identificar os raciocínios que levam a resultados diferentes. É importante fazer o aluno perceber que “diferente” não é sinônimo de “errado” e que o erro pode levar à uma compreensão mais significativa do acerto.

Discuta com a turma:

  • Por que é importante usar triângulos semelhantes?
  • Quais as condições para que haja semelhança?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Retomar brevemente o que foi tratado neste aula.

Propósito: Dar um fechamento à aula.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação:

Apresente a atividade aos alunos e verifique se a questão está clara para eles. Deixe que pensem na atividade. Questões para estimular o raciocínio: “Como eu calculo a razão de semelhança entre dois retângulos semelhantes, por exemplo?”, “Qual a relação entre a figura 1 e a figura 2?”.

Propósito: Verificar se os alunos compreenderam o conteúdo tratado na aula. Aprofundar um pouco mais o conceito de razão de semelhança.

Discuta com a turma:

  • Razão de semelhança: O que é? Como calcular?

Materiais complementares:

Atividade raio x

Atividade complementar

Resolução atividade raio x

Resolução atividade complementar

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