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Plano de aula > Matemática > 9º ano > Geometria

Plano de aula - Demonstrando as relações métricas

Plano de aula de Matemática com atividades para 9º ano do Fundamental sobre Realizar a demonstração das relações métricas no triângulo retângulo. Utilizar ferramentas algébricas para realizar demonstrações.

Plano 05 de 10 • Clique aqui e veja todas as aulas desta sequência

Plano de aula alinhado à BNCC • POR: Flávia Adolf Lutz Keller,

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Objetivo select-down

Slide Plano Aula

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor:  Flávia Adolf Lutz Keller

Mentor: Lara Martins Barbosa

Especialista de área: Pricilla Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF09MA13 - Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo.

Objetivos específicos

  • Realizar a demonstração das relações métricas no triângulo retângulo.
  • Utilizar ferramentas algébricas para realizar demonstrações.

Conceito-chave

Álgebra, semelhança, demonstração, triângulo retângulo, casos de semelhança.

Recursos necessários

Caderno e cópia das atividades para serem realizadas em sala.


Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Ler o objetivo com os alunos e mostrar que utilizaremos recursos algébricos para demonstrar as relações métricas no triângulo retângulo. É importante que o professor ressalte aos alunos que essas demonstrações realizadas têm um passo a passo e que não espera-se dos alunos que consigam realizar todas as atividades sozinhos. As demonstrações são processos de anos de estudo por matemáticos de várias épocas e aqui seguiremos os passos já traçados por outros.

Propósito: Demonstrar as relações métricas utilizando recursos algébricos.

Discuta com a turma:

  • O que são recursos algébricos?
  • O que é uma demonstração?

Ressalte que a demonstração com recursos algébricos exige uma abstração das propriedades. Em nenhum momento utilizaremos exemplos numéricos pois isso significa que é um caso particular e a demonstração exige uma generalização do tema.

Retomada select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4 e 5).

Orientação: Os alunos deverão resolver este exercício. Neste momento o professor deve verificar se todos dominam a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer.

Propósito: Verificar se todos os alunos dominam o conhecimento da soma dos ângulos internos de um triângulo.

Discuta com a turma:

  • Qual a soma dos ângulos internos de um triângulo?
  • Quanto deve ser o valor de ?? ?

Materiais complementares para impressão:

Retomada

Resolução da Retomada

Retomada select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4 e 5).

Orientação: Antes de mostrar o slide, questione com os alunos o que eles sabem sobre semelhança. Depois com o exemplo questione os alunos que outras figuras são semelhantes.

Propósito: Retomar o que são figuras semelhantes.

Discuta com a turma:

  • O que são figuras semelhantes?
  • Por que os quadrados sempre são semelhantes entre si? Qual a medida de cada um de seus ângulos?
  • O que significa lados proporcionais? (meça os lados e mostre que a razão entre os lados é constante)

Retomada select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4 e 5).

Orientação: Serão apresentados 6 triângulos que são semelhantes dois a dois. Os alunos deverão identificar os semelhantes e mostrar quais os itens que garantem a semelhança. Deverão ainda identificar os casos de semelhança (LLL - AA - LAL).

Propósito: Retomar os casos de semelhança de triângulos.

Discuta com a turma:

  • Quais os possíveis triângulos semelhantes?
  • Quais os elementos que levam a essa conclusão?
  • Qual o caso de semelhança que garante essa relação?

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Neste momento, questione os alunos sobre a propriedade da soma dos ângulos internos do triângulo. Eles deverão dar as respostas em função de ?? e ??.

Propósito: Perceber que a soma dos ângulos é 180º.

Discuta com a turma:

  • Como podemos descobrir as medidas solicitadas?

Materiais complementares para impressão:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Neste momento queremos novamente relacionar as medidas de dois ângulos. Partiremos novamente da soma dos ângulos internos do triângulo. Chame atenção dos alunos que o triângulo é o mesmo trabalhado no slide anterior, mas neste caso ele foi dividido em dois outros triângulos também retângulos.

Propósito: Descobrir que os ângulos se repetem para depois poder utilizar a semelhança de triângulos.

Discuta com a turma:

  • Considerando o triângulo ADB, o que podemos afirmar sobre a soma dos ângulos internos?
  • Já sabemos que um ângulo é de 90º, quanto deve ser a soma dos outros dois ângulos?
  • Um dos ângulos mede ??, o que deve acontecer com o outro ângulo?
  • Quanto mede ?? + ???

Faça os mesmos questionamentos em relação ao triângulo ADC:

  • Considerando o triângulo ADC, o que podemos afirmar sobre a soma dos ângulos internos?
  • Já sabemos que um ângulo é de 90º, quanto deve ser a soma dos outros dois ângulos?
  • Um dos ângulos mede ??, o que deve acontecer com o outro ângulo?
  • Quanto mede ?? + ???

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Mostre o caso que garante a semelhança dos triângulos (AA) e relacione as razões entre os lados proporcionais.

Propósito: Utilizar a semelhança de triângulos para relacionar os lados proporcionais.

Discuta com a turma:

  • Quais os elementos em comum que garantem a semelhança entre os triângulos?
  • Qual o caso que garante a semelhança?
  • Escreva adequadamente a semelhança verificada. Incentive os alunos no momento de escrever a semelhança utilizar os vértices proporcionais na mesma ordem: ??ADB~??CDA.
  • Escreva as razões: AD/CD = DB/DA = AB/CA.

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: As razões do slide anterior serão trocadas pelas medidas do triângulo e os alunos devem montar as equações unindo-as duas a duas.

Propósito: Deduzir as relações métricas no triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Faça na lousa o passo a passo trocando as medidas dadas no triângulo. Questione os alunos: Qual a medida para o segmento AD? Lembre-os que será uma letra, no caso h e não um número, pois estamos realizando demonstrações e generalizações e não casos particulares.
  • Depois de realizar as substituições, anote as duas primeiras razões e realize a propriedade da proporção. Chame a atenção dos alunos: Vocês conhecem essa relação? Ela é válida para qualquer triângulo? O que significa o h? E o m e n?

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Compare o triângulo inicial ABC com uma das partes do novo triângulo. Mantenha o triângulo na mesma posição inicial para que o aluno consiga relacionar que o triângulo ADC é uma parte do triângulo maior. Assim como no exercício anterior, os alunos devem provar a semelhança e depois apresentar os lados proporcionais.

Propósito: Perceber as duas novas relações métricas.

Discuta com a turma:

  • O que os triângulos têm em comum?
  • O que garante a semelhança entre eles?
  • O que acontece com as medidas dos lados na semelhança?

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Os alunos deverão montar as razões entre os lados.

Propósito: Perceber as duas novas relações métricas.

Discuta com a turma:

  • Quais são os lados proporcionais?
  • Escreva adequadamente a semelhança verificada. Incentive os alunos no momento de escrever a semelhança utilizar os vértices proporcionais na mesma ordem: ??ABC~??DAC.
  • Escreva as razões: AB/DA=BC/AC=AC/DC.

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Os alunos deverão substituir os valores conforme a figura e reconhecer mais duas relações. Chame atenção dos alunos que se utilizarem o triângulo vermelho ABD chegariam na outra relação com o cateto menor.

Propósito: Demonstrar mais duas relações métricas no triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Após a primeira relação, qual a relação determinada?
  • Se utilizarmos as outras igualdades, a que relações vamos chegar?

Discussão da Solução select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slide 13 e 14).

Orientações: Verifique com os alunos que se fossem comparadas outras razões (2ª e 3ª ou 1ª e 3ª), chegariam em outras relações, mas que dificultariam a resolução de exercícios pois relacionam grandezas diversas. Mas, que se necessário podem sim utilizar essas novas relações, pois também são válidas. Ressalte com os alunos que com as razões iniciais conseguem deduzir qualquer relação, portanto os exercícios podem ser resolvidos também por semelhança de triângulos.

Propósito: Mostrar aos alunos que há outras relações métricas entre as medidas dos triângulos retângulos mas que as mesmas não são tão utilizadas em resolução de exercícios.

Discuta com a turma:

  • O que significa esta nova relação?

Espera-se que os alunos percebam que esta nova relação significa que o produto de um cateto pela projeção do outro cateto é igual ao produto do outro cateto pela altura.

E que se os alunos escolhessem a primeira com a terceira razão teriam os catetos e as projeções trocadas.

É importante ressaltar que como relaciona o produto de um cateto pela projeção de outro cateto isso dificulta na resolução de exercícios.

Discussão da Solução select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slide 13 e 14).

Orientações: Vamos neste momento realizar a mesma discussão já feita no slide anterior, mas com as relações da segunda semelhança realizada. Instigue para que os alunos percebam que esta relação é exatamente a mesma realizada no slide anterior, apenas mudou-se os catetos e a projeção do mesmo.

Propósito: Mostrar aos alunos que há outras relações métricas entre as medidas dos triângulos retângulos mas que as mesmas não são tão utilizadas em resolução de exercícios.

Discuta com a turma:

  • O que significa esta nova relação?
  • Ela parece a relação já descoberta no slide anterior?
  • O que mudou?

Retome as questões já feitas: o produto de um cateto pela projeção de outro cateto dificulta a resolução de exercícios.

Encerramento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 3 minutos.

Orientações: Ressalte com os alunos a importância de uma demonstração. Retome que isso é resultado de estudos de muitos matemáticos e que é difícil realizar sozinho, do nada, mas que a abstração em se provar uma idéia, sem utilizar casos particulares, é o que dá solidez para a Matemática. Solicite que os alunos registrem as propriedades no caderno.

Propósito: Discutir com os alunos a importância de uma demonstração matemática.

Discuta com a turma:

  • O que você entende pela definição de demonstração dada acima?
  • O que você teve mais dificuldade na resolução dos exercícios?

Raio X select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 5 minutos.

Orientações: Neste exercício o aluno deverá realizar, individualmente, uma manipulação algébrica.

Propósito: Realizar manipulações algébricas para analisar equações conhecidas.

Discuta com a turma:

  • Quais foram as dificuldades encontradas na resolução?
  • Há procedimentos algébricos que impediram a resolução do exercício?

Materiais complementares para impressão:

Raio X

Resolução do raio x

Atividade complementar

Resolução da atividade complementar

Resumo da aula

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Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Ler o objetivo com os alunos e mostrar que utilizaremos recursos algébricos para demonstrar as relações métricas no triângulo retângulo. É importante que o professor ressalte aos alunos que essas demonstrações realizadas têm um passo a passo e que não espera-se dos alunos que consigam realizar todas as atividades sozinhos. As demonstrações são processos de anos de estudo por matemáticos de várias épocas e aqui seguiremos os passos já traçados por outros.

Propósito: Demonstrar as relações métricas utilizando recursos algébricos.

Discuta com a turma:

  • O que são recursos algébricos?
  • O que é uma demonstração?

Ressalte que a demonstração com recursos algébricos exige uma abstração das propriedades. Em nenhum momento utilizaremos exemplos numéricos pois isso significa que é um caso particular e a demonstração exige uma generalização do tema.


Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor:  Flávia Adolf Lutz Keller

Mentor: Lara Martins Barbosa

Especialista de área: Pricilla Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF09MA13 - Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo.

Objetivos específicos

  • Realizar a demonstração das relações métricas no triângulo retângulo.
  • Utilizar ferramentas algébricas para realizar demonstrações.

Conceito-chave

Álgebra, semelhança, demonstração, triângulo retângulo, casos de semelhança.

Recursos necessários

Caderno e cópia das atividades para serem realizadas em sala.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4 e 5).

Orientação: Os alunos deverão resolver este exercício. Neste momento o professor deve verificar se todos dominam a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer.

Propósito: Verificar se todos os alunos dominam o conhecimento da soma dos ângulos internos de um triângulo.

Discuta com a turma:

  • Qual a soma dos ângulos internos de um triângulo?
  • Quanto deve ser o valor de ?? ?

Materiais complementares para impressão:

Retomada

Resolução da Retomada

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4 e 5).

Orientação: Antes de mostrar o slide, questione com os alunos o que eles sabem sobre semelhança. Depois com o exemplo questione os alunos que outras figuras são semelhantes.

Propósito: Retomar o que são figuras semelhantes.

Discuta com a turma:

  • O que são figuras semelhantes?
  • Por que os quadrados sempre são semelhantes entre si? Qual a medida de cada um de seus ângulos?
  • O que significa lados proporcionais? (meça os lados e mostre que a razão entre os lados é constante)

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slides 3, 4 e 5).

Orientação: Serão apresentados 6 triângulos que são semelhantes dois a dois. Os alunos deverão identificar os semelhantes e mostrar quais os itens que garantem a semelhança. Deverão ainda identificar os casos de semelhança (LLL - AA - LAL).

Propósito: Retomar os casos de semelhança de triângulos.

Discuta com a turma:

  • Quais os possíveis triângulos semelhantes?
  • Quais os elementos que levam a essa conclusão?
  • Qual o caso de semelhança que garante essa relação?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Neste momento, questione os alunos sobre a propriedade da soma dos ângulos internos do triângulo. Eles deverão dar as respostas em função de ?? e ??.

Propósito: Perceber que a soma dos ângulos é 180º.

Discuta com a turma:

  • Como podemos descobrir as medidas solicitadas?

Materiais complementares para impressão:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Neste momento queremos novamente relacionar as medidas de dois ângulos. Partiremos novamente da soma dos ângulos internos do triângulo. Chame atenção dos alunos que o triângulo é o mesmo trabalhado no slide anterior, mas neste caso ele foi dividido em dois outros triângulos também retângulos.

Propósito: Descobrir que os ângulos se repetem para depois poder utilizar a semelhança de triângulos.

Discuta com a turma:

  • Considerando o triângulo ADB, o que podemos afirmar sobre a soma dos ângulos internos?
  • Já sabemos que um ângulo é de 90º, quanto deve ser a soma dos outros dois ângulos?
  • Um dos ângulos mede ??, o que deve acontecer com o outro ângulo?
  • Quanto mede ?? + ???

Faça os mesmos questionamentos em relação ao triângulo ADC:

  • Considerando o triângulo ADC, o que podemos afirmar sobre a soma dos ângulos internos?
  • Já sabemos que um ângulo é de 90º, quanto deve ser a soma dos outros dois ângulos?
  • Um dos ângulos mede ??, o que deve acontecer com o outro ângulo?
  • Quanto mede ?? + ???

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Mostre o caso que garante a semelhança dos triângulos (AA) e relacione as razões entre os lados proporcionais.

Propósito: Utilizar a semelhança de triângulos para relacionar os lados proporcionais.

Discuta com a turma:

  • Quais os elementos em comum que garantem a semelhança entre os triângulos?
  • Qual o caso que garante a semelhança?
  • Escreva adequadamente a semelhança verificada. Incentive os alunos no momento de escrever a semelhança utilizar os vértices proporcionais na mesma ordem: ??ADB~??CDA.
  • Escreva as razões: AD/CD = DB/DA = AB/CA.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: As razões do slide anterior serão trocadas pelas medidas do triângulo e os alunos devem montar as equações unindo-as duas a duas.

Propósito: Deduzir as relações métricas no triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Faça na lousa o passo a passo trocando as medidas dadas no triângulo. Questione os alunos: Qual a medida para o segmento AD? Lembre-os que será uma letra, no caso h e não um número, pois estamos realizando demonstrações e generalizações e não casos particulares.
  • Depois de realizar as substituições, anote as duas primeiras razões e realize a propriedade da proporção. Chame a atenção dos alunos: Vocês conhecem essa relação? Ela é válida para qualquer triângulo? O que significa o h? E o m e n?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Compare o triângulo inicial ABC com uma das partes do novo triângulo. Mantenha o triângulo na mesma posição inicial para que o aluno consiga relacionar que o triângulo ADC é uma parte do triângulo maior. Assim como no exercício anterior, os alunos devem provar a semelhança e depois apresentar os lados proporcionais.

Propósito: Perceber as duas novas relações métricas.

Discuta com a turma:

  • O que os triângulos têm em comum?
  • O que garante a semelhança entre eles?
  • O que acontece com as medidas dos lados na semelhança?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Os alunos deverão montar as razões entre os lados.

Propósito: Perceber as duas novas relações métricas.

Discuta com a turma:

  • Quais são os lados proporcionais?
  • Escreva adequadamente a semelhança verificada. Incentive os alunos no momento de escrever a semelhança utilizar os vértices proporcionais na mesma ordem: ??ABC~??DAC.
  • Escreva as razões: AB/DA=BC/AC=AC/DC.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 20 minutos (slide 6 a 12).

Orientações: Os alunos deverão substituir os valores conforme a figura e reconhecer mais duas relações. Chame atenção dos alunos que se utilizarem o triângulo vermelho ABD chegariam na outra relação com o cateto menor.

Propósito: Demonstrar mais duas relações métricas no triângulo retângulo.

Discuta com a turma:

  • Após a primeira relação, qual a relação determinada?
  • Se utilizarmos as outras igualdades, a que relações vamos chegar?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slide 13 e 14).

Orientações: Verifique com os alunos que se fossem comparadas outras razões (2ª e 3ª ou 1ª e 3ª), chegariam em outras relações, mas que dificultariam a resolução de exercícios pois relacionam grandezas diversas. Mas, que se necessário podem sim utilizar essas novas relações, pois também são válidas. Ressalte com os alunos que com as razões iniciais conseguem deduzir qualquer relação, portanto os exercícios podem ser resolvidos também por semelhança de triângulos.

Propósito: Mostrar aos alunos que há outras relações métricas entre as medidas dos triângulos retângulos mas que as mesmas não são tão utilizadas em resolução de exercícios.

Discuta com a turma:

  • O que significa esta nova relação?

Espera-se que os alunos percebam que esta nova relação significa que o produto de um cateto pela projeção do outro cateto é igual ao produto do outro cateto pela altura.

E que se os alunos escolhessem a primeira com a terceira razão teriam os catetos e as projeções trocadas.

É importante ressaltar que como relaciona o produto de um cateto pela projeção de outro cateto isso dificulta na resolução de exercícios.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (slide 13 e 14).

Orientações: Vamos neste momento realizar a mesma discussão já feita no slide anterior, mas com as relações da segunda semelhança realizada. Instigue para que os alunos percebam que esta relação é exatamente a mesma realizada no slide anterior, apenas mudou-se os catetos e a projeção do mesmo.

Propósito: Mostrar aos alunos que há outras relações métricas entre as medidas dos triângulos retângulos mas que as mesmas não são tão utilizadas em resolução de exercícios.

Discuta com a turma:

  • O que significa esta nova relação?
  • Ela parece a relação já descoberta no slide anterior?
  • O que mudou?

Retome as questões já feitas: o produto de um cateto pela projeção de outro cateto dificulta a resolução de exercícios.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 3 minutos.

Orientações: Ressalte com os alunos a importância de uma demonstração. Retome que isso é resultado de estudos de muitos matemáticos e que é difícil realizar sozinho, do nada, mas que a abstração em se provar uma idéia, sem utilizar casos particulares, é o que dá solidez para a Matemática. Solicite que os alunos registrem as propriedades no caderno.

Propósito: Discutir com os alunos a importância de uma demonstração matemática.

Discuta com a turma:

  • O que você entende pela definição de demonstração dada acima?
  • O que você teve mais dificuldade na resolução dos exercícios?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 5 minutos.

Orientações: Neste exercício o aluno deverá realizar, individualmente, uma manipulação algébrica.

Propósito: Realizar manipulações algébricas para analisar equações conhecidas.

Discuta com a turma:

  • Quais foram as dificuldades encontradas na resolução?
  • Há procedimentos algébricos que impediram a resolução do exercício?

Materiais complementares para impressão:

Raio X

Resolução do raio x

Atividade complementar

Resolução da atividade complementar

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