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Plano de aula > Matemática > 9º ano > Álgebra

Plano de aula - Dedução da fórmula resolutiva da equação quadrática

Plano de aula de matemática com atividades para 9 do Fundamental sobre conhecer e compreender a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Plano 04 de 10 • Clique aqui e veja todas as aulas desta sequência

Plano de aula alinhado à BNCC • POR: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

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Objetivo select-down

Slide Plano Aula

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

Mentor: Telma Regina França Rosso

Especialista de área: Sandra Amorim

Habilidade da BNCC

EF09MA09 - Compreender os processo de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º Grau.

Objetivos específicos

Conhecer e compreender a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Conceito-chave

Dedução da fórmula.

Conceitos que a turma deve dominar

  • Aplicar o método de completar quadrados no processo de fatoração

Recursos necessários

  • Projetor (pode ser substituído pelo quadro)
  • Atividades impressas
  • Caderno e Lápis




Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Projete escreva no quadro ou leia o objetivo para a turma.

Propósito: Compartilhar o objetivo da aula.

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (Slide 3, 4 e 5)

Orientação: Proponha aos alunos a resolução da equação quadrática para solucionar a situação-problema. Após alguns minutos passe para o próximo slide e discuta com a turma o processo de resolução.

Propósito: Retomar o método de completar quadrados no processo de fatoração.

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (Slide 3, 4 e 5)

Orientação: Discuta com os alunos o passo a passo da resolução, questione o motivo de querermos representar a equação como um trinômio do quadrado perfeito.

Propósito: Retomar o método de completar quadrados no processo de fatoração.

Discuta com a turma:

  • Por que é importante considerar processos de simplificação na resolução de uma equação como foi feito nesta situação?
  • Qual o motivo de buscarmos um trinômio do quadrado perfeito?

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (Slide 3, 4 e 5)

Orientação: Comente com os alunos que para obter um quadrado perfeito podem ser feitas diferentes operações. Nesta resolução, foi considerado multiplicar por 5 para que o coeficiente de x² também seja um quadrado perfeito, mas poderíamos por exemplo ter dividido por 5. Retome também o desenvolvimento do produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b², para explicar aos alunos que na terceira linha da resolução foi especificado a operação de quadrado inicialmente (a²) e depois considerado o dobro de dois termos (2ab), para depois analisar qual termo (b²) estava faltando adicionar. Por fim, deixem que terminem a resolução da equação.

Propósito: Retomar o método de completar quadrados no processo de fatoração.

Discuta com a turma:

  • Chegamos em um trinômio do quadrado perfeito, como representar sua fatoração?
  • O que é necessário para descobrir o valor de x?
  • As duas raízes podem ser consideradas? Por que?

Resolução da equação e resposta do problema:

(5x)² + 2.(5x).2 + 4 = 144

(5x + 2)² = 144

5x + 2 = ± ?144

5x + 2 = 12 ou 5x + 2 = - 12

5x = 10 ou 5x = - 14

x = 2 ou x = - 14/5

Como x representa um comprimento, podemos considerar somente x = 2. Logo, o retângulo possui lados iguais a 2x = 2.2 = 4 m e 5x + 4 = 5.2 + 4 = 14 m.

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 6, 7 e 8)

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e escrevam suas estratégias no caderno. Em seguida, deixe que discutam com um colega suas anotações e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Pensar no processo de dedução da fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • O que vocês consideraram para dar início ao desenvolvimento?
  • Você compreendeu a forma como seu colega pensou?
  • Com essa estrutura de equação é possível deixar apenas a incógnita x em um dos membros, assim como fazemos em equações do 1º grau? Como?
  • Existe alguma maneira de obtermos um trinômio do quadrado perfeito mesmo não conhecendo os coeficientes da equação?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 6, 7 e 8)

Orientações: Apresente estes próximos slides (7 e 8) após os alunos já terem pensado sobre alguma estratégia de dedução. Comente com a turma que existem mais de uma maneira de se fazer e que eles podem apenas comparar suas anotações com as que foram apresentadas e continuar da maneira que já tinham iniciado. Esse segundo momento da atividade principal pretende ajudar aqueles alunos que talvez não tenham conseguido dar início ao desenvolvimento algébrico.

Propósito: Conhecer e compreender o processo para obter a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • A equação ax² + bx + c = 0 é a mesma que ax² + bx = -c? Por que?
  • Gabriel optou multiplicar a equação por 4a. Qual o sentido de utilizar o número 4?
  • Você concorda com os pensamentos de Gabriel e Marcos?
  • Compare suas estratégias com as utilizadas por Gabriel e Marcos. O que você observou?

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 6, 7 e 8)

Orientações: Apresente estes próximos slides (7 e 8) após os alunos já terem pensado sobre alguma estratégia de dedução. Comente com a turma que existem mais de uma maneira de se fazer e que eles podem apenas comparar suas anotações com as que foram apresentadas e continuar da maneira que já tinham iniciado. Esse segundo momento da atividade principal pretende ajudar aqueles alunos que talvez não tenham conseguido dar início ao desenvolvimento algébrico.

Propósito: Conhecer e compreender o processo para obter a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • A equação ax² + bx + c = 0 é a mesma que ax² + bx = -c? Por que?
  • Gabriel optou multiplicar a equação por 4a. Qual o sentido de utilizar o número 4?
  • Você concorda com os pensamentos de Gabriel e Marcos?
  • Compare suas estratégias com as utilizadas por Gabriel e Marcos. O que você observou?

Painel de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Depois que os alunos realizarem a atividade principal, passe para esta série de slides. Nela, os alunos poderão discutir e comparar as diferentes maneiras de deduzir a fórmula resolutiva da equação quadrática. Questione sobre as semelhanças e diferenças em cada passo da resolução apresentada com o que foi desenvolvido por eles.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • Qual foi o objetivo inicial de todos os desenvolvimentos apresentados?
  • O que foi necessário para alcançar esse objetivo?
  • O que fez com que as operações realizadas ao longo da resolução fossem diferentes?
  • Alguém iniciou de uma outra forma? Explique o modo como pensou.
  • Em algum momento da resolução você se deparou com uma dificuldade? Qual?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Painel de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Para que haja maior participação de toda turma, questione os alunos em cada linha do desenvolvimento com perguntas do tipo: “O que aconteceu da primeira para a segunda linha?”; “Por que foi adicionado -c na equação? E (+b²)?”. Peça que os alunos compare os desenvolvimentos com as anotações em seus cadernos.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Painel de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Para que haja maior participação de toda turma, questione os alunos em cada linha do desenvolvimento com perguntas do tipo: “O que aconteceu da primeira para a segunda linha?”; “Por que foi adicionado -c na equação? E (+b²/4a²)?”. Peça que os alunos compare os desenvolvimentos com as anotações em seus cadernos.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Painel de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Para que haja maior participação de toda turma, questione os alunos em cada linha do desenvolvimento com perguntas do tipo: “O que aconteceu da primeira para a segunda linha?”; “Por que foi adicionado -c na equação? E (+b²/4)?”. Peça que os alunos compare os desenvolvimentos com as anotações em seus cadernos.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Sistematização do Conceito select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 5 minutos

Orientação: Explique aos alunos que a fórmula é um dos possíveis caminhos para encontrar as raízes de uma equação quadrática e que o processo realizado para chegar nela é extremamente importante para resolver qualquer equação também. A fórmula é um meio que pode facilitar, mas não deve ser o único caminho a ser considerado. Retome com os alunos quais são os coeficientes da equação quadrática e como identificá-los.

Propósito: Apresentar a fórmula resolutiva como um dos meios de determinar as raízes da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • Em qual situação o uso da fórmula pode ser indispensável?

Encerramento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 2 minutos

Orientação: Encerre a atividade reforçando o método que foi trabalhado durante a dedução da fórmula e reflita com os alunos sobre a facilidade de utilizar a fórmula em determinadas situações.

Propósito: Reforçar as aprendizagens da aula.

Raio x select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 5 minutos.

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e a realizem. Após alguns minutos peça que eles compartilhem suas respostas com a turma.

Propósito: Analisar as possibilidades de solução através do discriminante.

Discuta com a turma:

  • A análise do discriminante ? pode ajudar em alguma situação? Por quê?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do Raio X

Atividade complementar

Resolução da Atividade Complementar

Resumo da aula

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Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Projete escreva no quadro ou leia o objetivo para a turma.

Propósito: Compartilhar o objetivo da aula.


Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

Mentor: Telma Regina França Rosso

Especialista de área: Sandra Amorim

Habilidade da BNCC

EF09MA09 - Compreender os processo de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º Grau.

Objetivos específicos

Conhecer e compreender a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Conceito-chave

Dedução da fórmula.

Conceitos que a turma deve dominar

  • Aplicar o método de completar quadrados no processo de fatoração

Recursos necessários

  • Projetor (pode ser substituído pelo quadro)
  • Atividades impressas
  • Caderno e Lápis



Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (Slide 3, 4 e 5)

Orientação: Proponha aos alunos a resolução da equação quadrática para solucionar a situação-problema. Após alguns minutos passe para o próximo slide e discuta com a turma o processo de resolução.

Propósito: Retomar o método de completar quadrados no processo de fatoração.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (Slide 3, 4 e 5)

Orientação: Discuta com os alunos o passo a passo da resolução, questione o motivo de querermos representar a equação como um trinômio do quadrado perfeito.

Propósito: Retomar o método de completar quadrados no processo de fatoração.

Discuta com a turma:

  • Por que é importante considerar processos de simplificação na resolução de uma equação como foi feito nesta situação?
  • Qual o motivo de buscarmos um trinômio do quadrado perfeito?
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 10 minutos (Slide 3, 4 e 5)

Orientação: Comente com os alunos que para obter um quadrado perfeito podem ser feitas diferentes operações. Nesta resolução, foi considerado multiplicar por 5 para que o coeficiente de x² também seja um quadrado perfeito, mas poderíamos por exemplo ter dividido por 5. Retome também o desenvolvimento do produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b², para explicar aos alunos que na terceira linha da resolução foi especificado a operação de quadrado inicialmente (a²) e depois considerado o dobro de dois termos (2ab), para depois analisar qual termo (b²) estava faltando adicionar. Por fim, deixem que terminem a resolução da equação.

Propósito: Retomar o método de completar quadrados no processo de fatoração.

Discuta com a turma:

  • Chegamos em um trinômio do quadrado perfeito, como representar sua fatoração?
  • O que é necessário para descobrir o valor de x?
  • As duas raízes podem ser consideradas? Por que?

Resolução da equação e resposta do problema:

(5x)² + 2.(5x).2 + 4 = 144

(5x + 2)² = 144

5x + 2 = ± ?144

5x + 2 = 12 ou 5x + 2 = - 12

5x = 10 ou 5x = - 14

x = 2 ou x = - 14/5

Como x representa um comprimento, podemos considerar somente x = 2. Logo, o retângulo possui lados iguais a 2x = 2.2 = 4 m e 5x + 4 = 5.2 + 4 = 14 m.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 6, 7 e 8)

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e escrevam suas estratégias no caderno. Em seguida, deixe que discutam com um colega suas anotações e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Pensar no processo de dedução da fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • O que vocês consideraram para dar início ao desenvolvimento?
  • Você compreendeu a forma como seu colega pensou?
  • Com essa estrutura de equação é possível deixar apenas a incógnita x em um dos membros, assim como fazemos em equações do 1º grau? Como?
  • Existe alguma maneira de obtermos um trinômio do quadrado perfeito mesmo não conhecendo os coeficientes da equação?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 6, 7 e 8)

Orientações: Apresente estes próximos slides (7 e 8) após os alunos já terem pensado sobre alguma estratégia de dedução. Comente com a turma que existem mais de uma maneira de se fazer e que eles podem apenas comparar suas anotações com as que foram apresentadas e continuar da maneira que já tinham iniciado. Esse segundo momento da atividade principal pretende ajudar aqueles alunos que talvez não tenham conseguido dar início ao desenvolvimento algébrico.

Propósito: Conhecer e compreender o processo para obter a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • A equação ax² + bx + c = 0 é a mesma que ax² + bx = -c? Por que?
  • Gabriel optou multiplicar a equação por 4a. Qual o sentido de utilizar o número 4?
  • Você concorda com os pensamentos de Gabriel e Marcos?
  • Compare suas estratégias com as utilizadas por Gabriel e Marcos. O que você observou?
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 6, 7 e 8)

Orientações: Apresente estes próximos slides (7 e 8) após os alunos já terem pensado sobre alguma estratégia de dedução. Comente com a turma que existem mais de uma maneira de se fazer e que eles podem apenas comparar suas anotações com as que foram apresentadas e continuar da maneira que já tinham iniciado. Esse segundo momento da atividade principal pretende ajudar aqueles alunos que talvez não tenham conseguido dar início ao desenvolvimento algébrico.

Propósito: Conhecer e compreender o processo para obter a fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • A equação ax² + bx + c = 0 é a mesma que ax² + bx = -c? Por que?
  • Gabriel optou multiplicar a equação por 4a. Qual o sentido de utilizar o número 4?
  • Você concorda com os pensamentos de Gabriel e Marcos?
  • Compare suas estratégias com as utilizadas por Gabriel e Marcos. O que você observou?
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Depois que os alunos realizarem a atividade principal, passe para esta série de slides. Nela, os alunos poderão discutir e comparar as diferentes maneiras de deduzir a fórmula resolutiva da equação quadrática. Questione sobre as semelhanças e diferenças em cada passo da resolução apresentada com o que foi desenvolvido por eles.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • Qual foi o objetivo inicial de todos os desenvolvimentos apresentados?
  • O que foi necessário para alcançar esse objetivo?
  • O que fez com que as operações realizadas ao longo da resolução fossem diferentes?
  • Alguém iniciou de uma outra forma? Explique o modo como pensou.
  • Em algum momento da resolução você se deparou com uma dificuldade? Qual?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Para que haja maior participação de toda turma, questione os alunos em cada linha do desenvolvimento com perguntas do tipo: “O que aconteceu da primeira para a segunda linha?”; “Por que foi adicionado -c na equação? E (+b²)?”. Peça que os alunos compare os desenvolvimentos com as anotações em seus cadernos.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Para que haja maior participação de toda turma, questione os alunos em cada linha do desenvolvimento com perguntas do tipo: “O que aconteceu da primeira para a segunda linha?”; “Por que foi adicionado -c na equação? E (+b²/4a²)?”. Peça que os alunos compare os desenvolvimentos com as anotações em seus cadernos.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides de 7, 8, 9 e 10)

Orientação: Para que haja maior participação de toda turma, questione os alunos em cada linha do desenvolvimento com perguntas do tipo: “O que aconteceu da primeira para a segunda linha?”; “Por que foi adicionado -c na equação? E (+b²/4)?”. Peça que os alunos compare os desenvolvimentos com as anotações em seus cadernos.

Propósito: Discutir sobre as diferentes estratégias do processo de fatoração para chegar na fórmula resolutiva da equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 5 minutos

Orientação: Explique aos alunos que a fórmula é um dos possíveis caminhos para encontrar as raízes de uma equação quadrática e que o processo realizado para chegar nela é extremamente importante para resolver qualquer equação também. A fórmula é um meio que pode facilitar, mas não deve ser o único caminho a ser considerado. Retome com os alunos quais são os coeficientes da equação quadrática e como identificá-los.

Propósito: Apresentar a fórmula resolutiva como um dos meios de determinar as raízes da equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • Em qual situação o uso da fórmula pode ser indispensável?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 2 minutos

Orientação: Encerre a atividade reforçando o método que foi trabalhado durante a dedução da fórmula e reflita com os alunos sobre a facilidade de utilizar a fórmula em determinadas situações.

Propósito: Reforçar as aprendizagens da aula.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 5 minutos.

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e a realizem. Após alguns minutos peça que eles compartilhem suas respostas com a turma.

Propósito: Analisar as possibilidades de solução através do discriminante.

Discuta com a turma:

  • A análise do discriminante ? pode ajudar em alguma situação? Por quê?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do Raio X

Atividade complementar

Resolução da Atividade Complementar

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