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Plano de aula > Matemática > 9º ano > Álgebra

Plano de aula - Resolvendo equações quadráticas por fatoração

Plano de aula de matemática com atividades para 9 do Fundamental sobre relacionar a fatoração com a resolução de equações quadráticas.

Plano 02 de 10 • Clique aqui e veja todas as aulas desta sequência

Plano de aula alinhado à BNCC • POR: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

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Objetivo select-down

Slide Plano Aula

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

Mentor: Telma Regina França Rosso

Especialista de área: Sandra Amorim

Habilidade da BNCC

EF09MA09 - Compreender os processo de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º Grau.

Objetivos específicos

Relacionar a fatoração com a resolução de equações quadráticas.

Conceito-chave

Fatorar e resolver equações quadráticas.

Conceitos que a turma deve dominar

  • Identificar monômios, binômios e trinômios
  • Realizar a fatoração
  • Identificar uma equação quadrática

Recursos necessários

  • Projetor (pode ser substituído pelo quadro)
  • Atividades impressas
  • Caderno e Lápis

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Projete ou leia o objetivo para a turma.

Propósito: Compartilhar o objetivo da aula.

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 e 4)

Orientação: Retome com os alunos o que são monômios, binômios e trinômios. Em seguida, discuta como ocorre o processo de fatoração dos trinômios que são quadrados perfeitos e os que não são.

Propósito: Retomar conceitos algébricos e relembrar o processo de fatoração de alguns trinômios.

Discuta com a turma:

  • Quais outros exemplos de monômios podemos ter? E binômios? E trinômios?
  • Como identificar um trinômio do quadrado perfeito?
  • Após identificar que o trinômio é um quadrado perfeito, o que devemos considerar para fatorá-lo?
  • E os trinômios que não são quadrados perfeitos, como podemos fatorá-los?

Aquecimento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 e 4)

Orientação: Retome com os alunos o que são monômios, binômios e trinômios. Em seguida, discuta como ocorre o processo de fatoração dos trinômios que são quadrados perfeitos e os que não são.

Propósito: Retomar conceitos algébricos e relembrar o processo de fatoração de alguns trinômios.

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 5 e 6)

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e escrevam suas anotações no caderno. Em seguida, deixe que discutam com um colega suas anotações e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Compreender o processo de fatoração como uma alternativa na resolução de equações quadráticas.

Discuta com a turma:

  • O que vocês observaram na equação?
  • Alguém conseguiu encontrar as raízes da equação? Como?
  • A equação apresenta um trinômio?
  • Esse trinômio é um trinômio do quadrado perfeito? Por que?
  • É possível fatorar esse trinômio de alguma forma?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Guia de intervenção

Atividade Principal select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 5 e 6)

Orientações: Entregue a cada aluno esta atividade ou apenas projete no quadro. Peça que, individualmente, os alunos leiam e analisem a resolução feita por Rodrigo e respondam as questões. Em seguida, deixe que discutam com um colega suas respostas e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Compreender o processo de fatoração como uma alternativa na resolução de equações quadráticas.

Discuta com a turma:

  • Existe alguma semelhança na resolução de Rodrigo com o que já discutimos anteriormente?
  • Qual o nome do processo utilizado por Rodrigo?
  • O que acontece se realizamos a propriedade distributiva nos binômios (x + a)(x + b)?
  • Por que Rodrigo relacionou a soma a + b com o número -5 da equação? E o produto ab com o número 6 da equação?
  • O que considerar primeiro, nas igualdades da terceira linha, para encontrar os valores de a e b?
  • A equação x² - 5x + 6 = 0 está representada em (x - 2)(x - 3) = 0? Por que?
  • O que devemos considerar para encontrar o valor de x na equação (x - 2)(x - 3) = 0?
  • Quando que um produto de dois termos resulta em zero como resposta?
  • Quais são as raízes da equação?
  • Como sabemos que não existem outras soluções além das que concluímos com esse processo?

Discussão de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor a sua disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • Apenas trinômios nas igualdades representarão uma equação quadrática?
  • O que vocês entendem quando dizemos “quadrado perfeito”? Qual o significado dessa expressão?
  • Quando Rodrigo igualou termo a termo as expressões x² - 5x + 6 e x² + (a+b)x + ab para obter os valores de a e b, por que não foi considerado o coeficiente de x²?
  • Esse processo de fatoração seria viável se o coeficiente de x² fosse por exemplo 2 (2x²)? Por que?
  • Por que é mais acessível considerar primeiro o produto de a e b ao realizar tentativas para descobrir seus valores?
  • Se tivéssemos a equação (x - 2)(x - 3) = 10 poderíamos usar o mesmo processo de resolução para determinar as raízes? Por que?

Materiais complementares:

Resolução da Atividade Principal

Discussão de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor à disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Discussão de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor à disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Discussão de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor à disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Discussão de soluções select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor a sua disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Sistematização do Conceito select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slide 12 e 13)

Orientação: Explique aos alunos que nesta aula foi enfatizado a fatoração dos trinômios, aqueles que são quadrados perfeitos e aqueles que não são, mas existem outros formas de fatoração, como aquelas que trabalham com os binômios. Por exemplo, o produto da soma pela diferença (x+a)(x-a) = 0 é a representação do binômio x² - a² = 0, as equações incompletas do tipo ax²+bx=0 podem ser fatoradas colando o termo x em evidência x(ax+b) = 0, em ambas equações se aplica a propriedade do produto nulo para determinar as raízes da equação.

Propósito: Generalizar a forma de resolução da equação quadrática por fatoração.

Discuta com a turma:

  • Como identificar um trinômio na equação quadrática?
  • E como identificar se um trinômio é um quadrado perfeito?
  • Como transformar um trinômio do quadrado perfeito em um produto?
  • Por que calculamos a raiz quadrada na equação (x+a)² = d?
  • Por que encontramos as raízes resolvendo as equações (x+a) = ± ?d?
  • O que as raízes representam para a equação inicial?
  • Como sabemos que um trinômio não é um quadrado perfeito?
  • É possível representar a equação ax² + bx + c = 0, com a ? 0 e a ? 1, no produto (x+a)(x+b) = 0? Como?
  • Existe alguma situação que ficaria inviável descobrir os valores de a e b na soma (S = a+b) e produto (P = ab)? Qual?

Sistematização do Conceito select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slide 12 e 13)

Orientação: Explique aos alunos que nesta aula foi enfatizado a fatoração dos trinômios, aqueles que são quadrados perfeitos e aqueles que não são, mas existem outros formas de fatoração, como aquelas que trabalham com os binômios. Por exemplo, o produto da soma pela diferença (x+a)(x-a)=0 é a representação do binômio x²-a²=0, as equações incompletas do tipo ax²+bx=0 podem ser fatoradas colando o termo x em evidência x(ax+b)=0, em ambas equações se aplica a propriedade do produto nulo para determinar as raízes da equação.

Propósito: Generalizar a forma de resolução da equação quadrática por fatoração.

Encerramento select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 3 minutos

Orientação: Encerre a atividade retomando com os estudantes as duas formas trabalhadas para fatorar um trinômio e resolver a equação quadrática.

Propósito: Reforçar as aprendizagens da aula.

Raio x select-down

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e a realizem. Após alguns minutos, peça que eles compartilhem suas respostas com a turma. O raio x é um momento para você avaliar se todos os estudantes conseguiram avançar no conteúdo proposto, então procure identificar e anotar os comentários de cada um.

Propósito: Verificar se os alunos relacionam a fatoração na resolução de problemas que envolvem equações quadráticas.

Discuta com a turma:

  • Qual parte da figura corresponde a pergunta?
  • O que foi necessário compreender para começar a solucionar o problema?
  • Como podemos representar algebricamente as informações contidas no problema?
  • A equação registrada representa uma fatoração?
  • Alguém buscou resolver mentalmente a questão? Como pensou?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do Raio X

Atividade complementar

Resolução da Atividade Complementar

Acesse os vídeos e exercícios sobre “Resolução de equações do segundo grau por fatoração” e “Propriedades do produto nulo” da Plataforma Khan Academy. Neles você poderá se preparar para essa aula ou compartilhar, se for possível, com seus alunos.

Resumo da aula

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Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Projete ou leia o objetivo para a turma.

Propósito: Compartilhar o objetivo da aula.


Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

Mentor: Telma Regina França Rosso

Especialista de área: Sandra Amorim

Habilidade da BNCC

EF09MA09 - Compreender os processo de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º Grau.

Objetivos específicos

Relacionar a fatoração com a resolução de equações quadráticas.

Conceito-chave

Fatorar e resolver equações quadráticas.

Conceitos que a turma deve dominar

  • Identificar monômios, binômios e trinômios
  • Realizar a fatoração
  • Identificar uma equação quadrática

Recursos necessários

  • Projetor (pode ser substituído pelo quadro)
  • Atividades impressas
  • Caderno e Lápis
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 e 4)

Orientação: Retome com os alunos o que são monômios, binômios e trinômios. Em seguida, discuta como ocorre o processo de fatoração dos trinômios que são quadrados perfeitos e os que não são.

Propósito: Retomar conceitos algébricos e relembrar o processo de fatoração de alguns trinômios.

Discuta com a turma:

  • Quais outros exemplos de monômios podemos ter? E binômios? E trinômios?
  • Como identificar um trinômio do quadrado perfeito?
  • Após identificar que o trinômio é um quadrado perfeito, o que devemos considerar para fatorá-lo?
  • E os trinômios que não são quadrados perfeitos, como podemos fatorá-los?
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 e 4)

Orientação: Retome com os alunos o que são monômios, binômios e trinômios. Em seguida, discuta como ocorre o processo de fatoração dos trinômios que são quadrados perfeitos e os que não são.

Propósito: Retomar conceitos algébricos e relembrar o processo de fatoração de alguns trinômios.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 5 e 6)

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e escrevam suas anotações no caderno. Em seguida, deixe que discutam com um colega suas anotações e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Compreender o processo de fatoração como uma alternativa na resolução de equações quadráticas.

Discuta com a turma:

  • O que vocês observaram na equação?
  • Alguém conseguiu encontrar as raízes da equação? Como?
  • A equação apresenta um trinômio?
  • Esse trinômio é um trinômio do quadrado perfeito? Por que?
  • É possível fatorar esse trinômio de alguma forma?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Guia de intervenção

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 15 minutos (slides 5 e 6)

Orientações: Entregue a cada aluno esta atividade ou apenas projete no quadro. Peça que, individualmente, os alunos leiam e analisem a resolução feita por Rodrigo e respondam as questões. Em seguida, deixe que discutam com um colega suas respostas e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Compreender o processo de fatoração como uma alternativa na resolução de equações quadráticas.

Discuta com a turma:

  • Existe alguma semelhança na resolução de Rodrigo com o que já discutimos anteriormente?
  • Qual o nome do processo utilizado por Rodrigo?
  • O que acontece se realizamos a propriedade distributiva nos binômios (x + a)(x + b)?
  • Por que Rodrigo relacionou a soma a + b com o número -5 da equação? E o produto ab com o número 6 da equação?
  • O que considerar primeiro, nas igualdades da terceira linha, para encontrar os valores de a e b?
  • A equação x² - 5x + 6 = 0 está representada em (x - 2)(x - 3) = 0? Por que?
  • O que devemos considerar para encontrar o valor de x na equação (x - 2)(x - 3) = 0?
  • Quando que um produto de dois termos resulta em zero como resposta?
  • Quais são as raízes da equação?
  • Como sabemos que não existem outras soluções além das que concluímos com esse processo?
Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor a sua disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Discuta com a turma:

  • Apenas trinômios nas igualdades representarão uma equação quadrática?
  • O que vocês entendem quando dizemos “quadrado perfeito”? Qual o significado dessa expressão?
  • Quando Rodrigo igualou termo a termo as expressões x² - 5x + 6 e x² + (a+b)x + ab para obter os valores de a e b, por que não foi considerado o coeficiente de x²?
  • Esse processo de fatoração seria viável se o coeficiente de x² fosse por exemplo 2 (2x²)? Por que?
  • Por que é mais acessível considerar primeiro o produto de a e b ao realizar tentativas para descobrir seus valores?
  • Se tivéssemos a equação (x - 2)(x - 3) = 10 poderíamos usar o mesmo processo de resolução para determinar as raízes? Por que?

Materiais complementares:

Resolução da Atividade Principal

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor à disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor à disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor à disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides de 7, 8, 9, 10 e 11)

Orientação: Depois que os alunos compartilharem seus pensamentos e anotações, caso seja necessário, passe para esta série de slides. Nela, os alunos verão algumas considerações sobre a equação e a análise feita em cima da resolução de Rodrigo. Valorize a participação dos alunos, inclusive proponha que apresentem suas reflexões se forem diferentes das apresentadas aqui. Se não houver projetor a sua disposição, você pode organizar em painéis de papel pardo as soluções ou no próprio quadro da sala de aula.

Propósito: Refletir sobre o processo de fatoração para resolver uma equação quadrática.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slide 12 e 13)

Orientação: Explique aos alunos que nesta aula foi enfatizado a fatoração dos trinômios, aqueles que são quadrados perfeitos e aqueles que não são, mas existem outros formas de fatoração, como aquelas que trabalham com os binômios. Por exemplo, o produto da soma pela diferença (x+a)(x-a) = 0 é a representação do binômio x² - a² = 0, as equações incompletas do tipo ax²+bx=0 podem ser fatoradas colando o termo x em evidência x(ax+b) = 0, em ambas equações se aplica a propriedade do produto nulo para determinar as raízes da equação.

Propósito: Generalizar a forma de resolução da equação quadrática por fatoração.

Discuta com a turma:

  • Como identificar um trinômio na equação quadrática?
  • E como identificar se um trinômio é um quadrado perfeito?
  • Como transformar um trinômio do quadrado perfeito em um produto?
  • Por que calculamos a raiz quadrada na equação (x+a)² = d?
  • Por que encontramos as raízes resolvendo as equações (x+a) = ± ?d?
  • O que as raízes representam para a equação inicial?
  • Como sabemos que um trinômio não é um quadrado perfeito?
  • É possível representar a equação ax² + bx + c = 0, com a ? 0 e a ? 1, no produto (x+a)(x+b) = 0? Como?
  • Existe alguma situação que ficaria inviável descobrir os valores de a e b na soma (S = a+b) e produto (P = ab)? Qual?

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 6 minutos (Slide 12 e 13)

Orientação: Explique aos alunos que nesta aula foi enfatizado a fatoração dos trinômios, aqueles que são quadrados perfeitos e aqueles que não são, mas existem outros formas de fatoração, como aquelas que trabalham com os binômios. Por exemplo, o produto da soma pela diferença (x+a)(x-a)=0 é a representação do binômio x²-a²=0, as equações incompletas do tipo ax²+bx=0 podem ser fatoradas colando o termo x em evidência x(ax+b)=0, em ambas equações se aplica a propriedade do produto nulo para determinar as raízes da equação.

Propósito: Generalizar a forma de resolução da equação quadrática por fatoração.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 3 minutos

Orientação: Encerre a atividade retomando com os estudantes as duas formas trabalhadas para fatorar um trinômio e resolver a equação quadrática.

Propósito: Reforçar as aprendizagens da aula.

Slide Plano Aula

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientações: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e a realizem. Após alguns minutos, peça que eles compartilhem suas respostas com a turma. O raio x é um momento para você avaliar se todos os estudantes conseguiram avançar no conteúdo proposto, então procure identificar e anotar os comentários de cada um.

Propósito: Verificar se os alunos relacionam a fatoração na resolução de problemas que envolvem equações quadráticas.

Discuta com a turma:

  • Qual parte da figura corresponde a pergunta?
  • O que foi necessário compreender para começar a solucionar o problema?
  • Como podemos representar algebricamente as informações contidas no problema?
  • A equação registrada representa uma fatoração?
  • Alguém buscou resolver mentalmente a questão? Como pensou?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do Raio X

Atividade complementar

Resolução da Atividade Complementar

Acesse os vídeos e exercícios sobre “Resolução de equações do segundo grau por fatoração” e “Propriedades do produto nulo” da Plataforma Khan Academy. Neles você poderá se preparar para essa aula ou compartilhar, se for possível, com seus alunos.

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