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Plano de aula - Explorando área e perímetro de um quadrado

Plano de aula de Matemática com atividades para 6º ano do Fundamental sobre concluir que apenas lado e perímetro de um quadrado são proporcionais.

Plano de aula alinhado à BNCC • POR: Elizabeth Bento

 

Objetivo select-down

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Elizabeth Bento

Mentor: Maria Aparecida Nemet Nascimento

Especialista de área: Fernando Barnabé



Habilidade da BNCC

(EF06MA27) Analisar e descrever as mudanças que ocorrem no perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados por um fator k.

Habilidades necessárias

Determinar perímetro e área de um quadrilátero, reconhecer quando há proporcionalidade entre duas grandezas, compreender entes da geometria como ponto médio, diagonal e vértice.

Objetivos específicos

Concluir que apenas lado e perímetro de um quadrado são proporcionais.



Conceito-chave

Área, perímetro, proporcionalidade.




Recursos necessários

  • Folha milimetrada;
  • Lápis de cor;
  • Tesoura;
  • Transferidor;
  • Régua.


Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Compartilhe com a classe o objetivo desta aula.

Aquecimento: Origamis e quadrados (slides 3 ao 7) select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Materiais complementares para impressão:

Resolução do aquecimento

Aquecimento: Origamis e quadrados (slides 3 ao 7) select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Aquecimento: Origamis e quadrados (slides 3 ao 7) select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Aquecimento: Origamis e quadrados (slides 3 ao 7) select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Aquecimento: Origamis e quadrados (slides 3 ao 7) select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica- se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário acesse o guia de intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.

  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.

  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.

  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.

  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados

Aquecimento: Origamis e quadrados select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o Guia de Intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Aquecimento: Origamis e quadrados select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o Guia de Intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Aquecimento: Origamis e quadrados select-down

Tempo sugerido: 8 minutos

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o guia de intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Aquecimento: Origamis e quadrados select-down

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o Guia de Intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Atividade Principal: Sobreposição de quadriláteros 1 (slides 12 e 13) select-down

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação: Distribua uma folha milimetrada para cada aluno. Sugira que façam diversos tipos de sobreposição sem dobrar os quadriláteros, e que escolha uma para resolver a questão acima do slide.

Propósito: Investigar e determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Quaisquer sobreposições escolhidas terão as mesmas medidas? Apesar do enunciado exigir que a sobreposição ocorra de maneira paralela e que partes dos segmentos paralelos deverão estar contidos no mesmo plano, é possível que algum aluno sobreponha com inclinação, e por esse motivo essa observação deve ser pautada a fim de verificar que a área e o perímetro irá mudar.
  • Temos dois quadriláteros diferentes com áreas iguais, como isso é possível? Apesar da diferença de lados a área poder numericamente igual e pode ser verificada através da quadriculação do polígono (verifique guia de intervenções aqui) no caso dos quadriláteros que a área é dada pelo produto da base pela altura, podemos listar diversos fatores inteiros ou não que resultam num mesmo valor.
  • Quaisquer pares de quadriláteros que possuírem a mesma área, quando sobrepostos terão o perímetro numericamente igual à área? Não, o perímetro depende unicamente do tipo de sobreposição.

Materiais complementares para impressão:

Resolução da atividade principal

Guia de intervenção

Sobreposição de quadriláteros 1 (slides 12 e 13) select-down

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação: Distribua uma folha milimetrada para cada aluno. Sugira que façam diversos tipos de sobreposição sem dobrar os quadriláteros, e que escolha uma para resolver a questão acima do slide.

Propósito: Investigar e determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Quaisquer sobreposições escolhidas terão as mesmas medidas? Apesar do enunciado exigir que a sobreposição ocorra de maneira paralela e que partes dos segmentos paralelos deverão estar contidos no mesmo plano, é possível que algum aluno sobreponha com inclinação, e por esse motivo essa observação deve ser pautada a fim de verificar que a área e o perímetro irá mudar.

  • Temos dois quadriláteros diferentes com áreas iguais, como isso é possível? Apesar da diferença de lados a área poder numericamente igual e pode ser verificada através da quadriculação do polígono (verifique guia de intervenções aqui) no caso dos quadriláteros que a área é dada pelo produto da base pela altura, podemos listar diversos fatores inteiros ou não que resultam num mesmo valor.

  • Quaisquer pares de quadriláteros que possuírem a mesma área, quando sobrepostos terão o perímetro numericamente igual à área? Não, o perímetro nesse caso depende unicamente do tipo de sobreposição.

Sobreposição de quadriláteros 2 ( slides 14 e 15) select-down

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação: Na mesma folha milimetrada peça para que construam duas figuras ampliadas pelo fator 2

Propósito: Constatar que área do quadrado ou retângulo não é proporcional ao seu lado.

Discuta com a turma:

  • O perímetro do retângulo é proporcional ao seu lado? Sim, o perímetro é ampliado ou reduzido pelo mesmo fator ampliou ou reduziu os lados do mesmo.

  • A área do retângulo é proporcional ao seu lado? Não, observa-se que não há um fator constante de proporcionalidade entre o lado e área.
  • É possível generalizar a área de um retângulo estabelecendo uma correspondência com o fator de ampliação ou redução? Sim, do mesmo modo observado nas tabelas criadas para o quadrado (slides 10 e 11)

Sobreposição de quadriláteros 2 ( slides 14 e 15) select-down

Tempo sugerido: 15 minutos

Orientação: Na mesma folha milimetrada peça para que construam duas figuras ampliadas pelo fator 2

Propósito: Constatar que área do quadrado ou retângulo não é proporcional ao seu lado.

Discuta com a turma:

  • O perímetro do retângulo é proporcional ao seu lado? Sim, o perímetro é ampliado ou reduzido pelo mesmo fator ampliou ou reduziu os lados do mesmo.

  • A área do retângulo é proporcional ao seu lado? Não, observa-se que não há um fator constante de proporcionalidade entre o lado e área.
  • É possível generalizar a área de um retângulo estabelecendo uma correspondência com o fator de ampliação ou redução? Sim, do mesmo modo observado nas tabelas criadas para o quadrado (slides 10 e 11)

Sobreposição de quadriláteros solução 1 (slides 16 ao 21) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Sobreposição de quadriláteros solução 1 (slides 16 ao 21) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Sobreposição de quadriláteros solução 1 (slides 16 ao 21) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Sobreposição de quadriláteros solução 1 (slides 16 ao 21) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Sobreposição de quadriláteros solução 1 (slides 16 ao 21) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Sobreposição de quadriláteros solução 1 (slides 16 ao 21) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Sobreposição de quadriláteros solução 2 (slides 22 ao 23) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área e a não proporcionalidade entre lado e área de ambas.

Discuta com a turma:

  • Quando se amplia ou reduz os lados das figuras por um mesmo valor, o que acontece com a área da interseção? Segue o mesmo padrão descrito na tabela por exemplo. A área de interseção da figura original corresponde a 18 cm², duplicamos os lados das figuras, ou seja, ampliamos por um fator igual a 2. A nova área de interseção corresponde a 72 cm² que pode ser escrito como fator de ampliação (2) ao quadrado multiplicado pela área original (18) ou como chamamos na tabela de A1 :

2² x 18 ou 2² x A1.

Sobreposição de quadriláteros solução 2 (slides 22 ao 23) select-down

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área e a não proporcionalidade entre lado e área de ambas.

Discuta com a turma:

  • Quando se amplia ou reduz os lados das figuras por um mesmo valor, o que acontece com a área da interseção? Segue o mesmo padrão descrito na tabela por exemplo. A área de interseção da figura original corresponde a 18 cm², duplicamos os lados das figuras, ou seja, ampliamos por um fator igual a 2. A nova área de interseção corresponde a 72 cm² que pode ser escrito como fator de ampliação (2) ao quadrado multiplicado pela área original (18) ou como chamamos na tabela de A1 :

2² x 18 ou 2² x A1.

Sistematização de Conceito select-down

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Leia com os alunos e verifique se o conceito de proporcionalidade apenas entre lado e perímetro foi compreendido.

Encerramento select-down

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Determine as áreas e perímetros dos diversos quadrados com os alunos, apontando a proporcionalidade existente entre lado e perímetro.

Raio X: Ampliando uma caixa cúbica select-down

Tempo sugerido: 9 minutos

Orientação: Leia o enunciado com os alunos , você pode utilizar uma caixa cúbica, cubo mágico para e deixá-lo a mostra para que os alunos manipulem se acharem necessário

Propósito: Determinar a nova aresta de um cubo ampliado a partir de sua área total.

Discuta com a turma:

  • Existe alguma relação entre a medida da aresta com a soma das medidas de todas as arestas do cubo? Sim, elas são diretamente proporcionais, logo aumentam e diminuem a mesma medida.

  • Quando aumentamos as arestas do cubo aumentamos seu volume também. Analisando o aumento da aresta, da área e do volume, existe alguma relação entre elas? Quando aumentamos ou diminuímos a aresta de um cubo por um fator k, a área total será dada pelo produto do fator ao quadrado e área que será ampliada enquanto seu volume será dado por pelo produto do fator ao cubo e volume que será ampliado.

Materiais complementares para impressão:

Raio X

Resolução do raio x

Atividade complementar

Anexo da atividade complementar

Resolução da atividade complementar

Texto de apoio

Resumo da aula

download Baixar plano

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Compartilhe com a classe o objetivo desta aula.


Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Elizabeth Bento

Mentor: Maria Aparecida Nemet Nascimento

Especialista de área: Fernando Barnabé



Habilidade da BNCC

(EF06MA27) Analisar e descrever as mudanças que ocorrem no perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados por um fator k.

Habilidades necessárias

Determinar perímetro e área de um quadrilátero, reconhecer quando há proporcionalidade entre duas grandezas, compreender entes da geometria como ponto médio, diagonal e vértice.

Objetivos específicos

Concluir que apenas lado e perímetro de um quadrado são proporcionais.



Conceito-chave

Área, perímetro, proporcionalidade.




Recursos necessários

  • Folha milimetrada;
  • Lápis de cor;
  • Tesoura;
  • Transferidor;
  • Régua.

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Materiais complementares para impressão:

Resolução do aquecimento

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica-se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário, acesse o Guia de Intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.
  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.
  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não se amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados.

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Para esta atividade é necessário folha milimetrada, tesoura e lápis de cor. Distribua uma folha de papel milimetrado para cada aluno. O tamanho a ser construído do quadrado é livre, mas sugerimos que os alunos pensem em em dois quadrados (sendo o segundo com o dobro da medida do lado) que caiba em uma única folha, reforçando deste modo o uso sustentável dos materiais.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Como podemos garantir que os novos quadriláteros formados pelos recortes são quadrados ? É necessário que relembrem algumas propriedades dos quadrados: Os segmentos que ligam os vértices opostos AC e BD são as diagonais que se interceptam no centro do quadrado formando 4 ângulos de 90°. Essas diagonais são bissetrizes dos ângulos Â, B, C e D, com isso os 4 triângulos que se formam são isósceles e retângulos. Ao unir os triângulos a e c , b e d, verifica- se que o lado do antigo quadrado passa a ser a diagonal do novo quadrado e que os lados iguais dos triângulos passam a ser os lados dos novos quadrados. Formando deste modo 4 ângulos internos de 90° com 4 lados congruentes e dois a dois paralelos. Se necessário acesse o guia de intervenções para relembrar as propriedades de um quadrado.

  • O que acontece com área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados? A área é aumentada quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.

  • O que acontece com o perímetro de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados O perímetro aumenta quando se amplia seus lados por qualquer fator e diminui quando reduz seu lado por qualquer fator.

  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e o perímetro? Sim. O perímetro fica igualmente ampliado ou reduzido pelo mesmo fator que ampliou ou reduziu os lados do quadrado.

  • Existe alguma relação de proporcionalidade entre os lados e área? Não. A área não amplia ou reduz a um mesmo fator que ampliou ou reduziu a medida dos lados

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o Guia de Intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o Guia de Intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Tempo sugerido: 8 minutos

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o guia de intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Tempo sugerido: 8 minutos.

Orientação: Apresentamos a resolução com dois quadrados distintos, mas você pode fazer um quadrado maior ou menor se preferir na lousa. Caso haja necessidade de construir uma solução na lousa será necessário utilizar um compasso e régua para lousa.

Propósito: Analisar e compreender o que acontece com o perímetro e área de um quadrado quando ampliamos ou reduzimos seus lados.

Discuta com a turma:

  • Que tipo de generalização podemos realizar com os resultados obtidos? Para todo e qualquer quadrado ampliar ou reduzir seu lado por um fator k a área não fica multiplicada por esse mesmo fator k, que é o que caracteriza se duas grandezas são diretamente proporcionais ou não. Se necessário consulte o Guia de Intervenções.
  • Sabemos que a área não é proporcional ao lado quando ampliamos ou reduzimos este mesmo por fator k. Mas podemos estabelecer um padrão de aumento ou redução? Se sim qual? Justifique. Observe a tabela nos slides 10 e 11. Podemos generalizar a ampliação de um quadrado escrevendo o produto do fator que amplia ou reduz os lados ao quadrado por uma área em questão. Use a tabela para reforçar a não proporcionalidade e para compreender o padrão existente quando analisamos os perímetros e as áreas de regiões quadradas.

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação: Distribua uma folha milimetrada para cada aluno. Sugira que façam diversos tipos de sobreposição sem dobrar os quadriláteros, e que escolha uma para resolver a questão acima do slide.

Propósito: Investigar e determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Quaisquer sobreposições escolhidas terão as mesmas medidas? Apesar do enunciado exigir que a sobreposição ocorra de maneira paralela e que partes dos segmentos paralelos deverão estar contidos no mesmo plano, é possível que algum aluno sobreponha com inclinação, e por esse motivo essa observação deve ser pautada a fim de verificar que a área e o perímetro irá mudar.
  • Temos dois quadriláteros diferentes com áreas iguais, como isso é possível? Apesar da diferença de lados a área poder numericamente igual e pode ser verificada através da quadriculação do polígono (verifique guia de intervenções aqui) no caso dos quadriláteros que a área é dada pelo produto da base pela altura, podemos listar diversos fatores inteiros ou não que resultam num mesmo valor.
  • Quaisquer pares de quadriláteros que possuírem a mesma área, quando sobrepostos terão o perímetro numericamente igual à área? Não, o perímetro depende unicamente do tipo de sobreposição.

Materiais complementares para impressão:

Resolução da atividade principal

Guia de intervenção

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação: Distribua uma folha milimetrada para cada aluno. Sugira que façam diversos tipos de sobreposição sem dobrar os quadriláteros, e que escolha uma para resolver a questão acima do slide.

Propósito: Investigar e determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Quaisquer sobreposições escolhidas terão as mesmas medidas? Apesar do enunciado exigir que a sobreposição ocorra de maneira paralela e que partes dos segmentos paralelos deverão estar contidos no mesmo plano, é possível que algum aluno sobreponha com inclinação, e por esse motivo essa observação deve ser pautada a fim de verificar que a área e o perímetro irá mudar.

  • Temos dois quadriláteros diferentes com áreas iguais, como isso é possível? Apesar da diferença de lados a área poder numericamente igual e pode ser verificada através da quadriculação do polígono (verifique guia de intervenções aqui) no caso dos quadriláteros que a área é dada pelo produto da base pela altura, podemos listar diversos fatores inteiros ou não que resultam num mesmo valor.

  • Quaisquer pares de quadriláteros que possuírem a mesma área, quando sobrepostos terão o perímetro numericamente igual à área? Não, o perímetro nesse caso depende unicamente do tipo de sobreposição.

Tempo sugerido: 15 minutos.

Orientação: Na mesma folha milimetrada peça para que construam duas figuras ampliadas pelo fator 2

Propósito: Constatar que área do quadrado ou retângulo não é proporcional ao seu lado.

Discuta com a turma:

  • O perímetro do retângulo é proporcional ao seu lado? Sim, o perímetro é ampliado ou reduzido pelo mesmo fator ampliou ou reduziu os lados do mesmo.

  • A área do retângulo é proporcional ao seu lado? Não, observa-se que não há um fator constante de proporcionalidade entre o lado e área.
  • É possível generalizar a área de um retângulo estabelecendo uma correspondência com o fator de ampliação ou redução? Sim, do mesmo modo observado nas tabelas criadas para o quadrado (slides 10 e 11)

Tempo sugerido: 15 minutos

Orientação: Na mesma folha milimetrada peça para que construam duas figuras ampliadas pelo fator 2

Propósito: Constatar que área do quadrado ou retângulo não é proporcional ao seu lado.

Discuta com a turma:

  • O perímetro do retângulo é proporcional ao seu lado? Sim, o perímetro é ampliado ou reduzido pelo mesmo fator ampliou ou reduziu os lados do mesmo.

  • A área do retângulo é proporcional ao seu lado? Não, observa-se que não há um fator constante de proporcionalidade entre o lado e área.
  • É possível generalizar a área de um retângulo estabelecendo uma correspondência com o fator de ampliação ou redução? Sim, do mesmo modo observado nas tabelas criadas para o quadrado (slides 10 e 11)

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Determinar o lado de quadriláteros sobrepostos a partir da área e do perímetro. Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área.

Discuta com a turma:

  • Qual outra medida fora dos critérios do exercício poderíamos ter? No caso do quadrado, não é possível representar com outra medida. Você pode reforçar que se trata de um quadrado perfeito, consulte o guia de intervenções aqui. Já para o retângulo podemos ter 30 x 1,2; 8 x 4,5 entre outros.

  • Utilizando outros polígonos com mesma área é possível adotar o mesmo padrão? Não, a maneira de determinar a área poderá ser diferente, os segmentos contidos no mesmo plano poderão não ser paralelos.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área e a não proporcionalidade entre lado e área de ambas.

Discuta com a turma:

  • Quando se amplia ou reduz os lados das figuras por um mesmo valor, o que acontece com a área da interseção? Segue o mesmo padrão descrito na tabela por exemplo. A área de interseção da figura original corresponde a 18 cm², duplicamos os lados das figuras, ou seja, ampliamos por um fator igual a 2. A nova área de interseção corresponde a 72 cm² que pode ser escrito como fator de ampliação (2) ao quadrado multiplicado pela área original (18) ou como chamamos na tabela de A1 :

2² x 18 ou 2² x A1.

Tempo sugerido: 12 minutos

Orientação: Escolha uma escala para reproduzir o quadrado e o retângulo de área 36 cm² numa cartolina, você pode fixar na lousa ou na parede diversos tipos de sobreposições e pedir para que os alunos façam anotações que julgarem pertinentes nessas figuras.

Propósito: Constatar que figuras com perímetros diferentes podem possuir mesma área e a não proporcionalidade entre lado e área de ambas.

Discuta com a turma:

  • Quando se amplia ou reduz os lados das figuras por um mesmo valor, o que acontece com a área da interseção? Segue o mesmo padrão descrito na tabela por exemplo. A área de interseção da figura original corresponde a 18 cm², duplicamos os lados das figuras, ou seja, ampliamos por um fator igual a 2. A nova área de interseção corresponde a 72 cm² que pode ser escrito como fator de ampliação (2) ao quadrado multiplicado pela área original (18) ou como chamamos na tabela de A1 :

2² x 18 ou 2² x A1.

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Leia com os alunos e verifique se o conceito de proporcionalidade apenas entre lado e perímetro foi compreendido.

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Determine as áreas e perímetros dos diversos quadrados com os alunos, apontando a proporcionalidade existente entre lado e perímetro.

Tempo sugerido: 9 minutos

Orientação: Leia o enunciado com os alunos , você pode utilizar uma caixa cúbica, cubo mágico para e deixá-lo a mostra para que os alunos manipulem se acharem necessário

Propósito: Determinar a nova aresta de um cubo ampliado a partir de sua área total.

Discuta com a turma:

  • Existe alguma relação entre a medida da aresta com a soma das medidas de todas as arestas do cubo? Sim, elas são diretamente proporcionais, logo aumentam e diminuem a mesma medida.

  • Quando aumentamos as arestas do cubo aumentamos seu volume também. Analisando o aumento da aresta, da área e do volume, existe alguma relação entre elas? Quando aumentamos ou diminuímos a aresta de um cubo por um fator k, a área total será dada pelo produto do fator ao quadrado e área que será ampliada enquanto seu volume será dado por pelo produto do fator ao cubo e volume que será ampliado.

Materiais complementares para impressão:

Raio X

Resolução do raio x

Atividade complementar

Anexo da atividade complementar

Resolução da atividade complementar

Texto de apoio

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