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Números primos, pais do mistério

Esses números fascinantes estão até na senha do banco e são a origem de vários problemas sem solução. Mostre-os à turma

POR:
Jacqueline Hamine e Wellington Soares

A definição é simples: um número é primo quando só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Mas a lista de coisas simples acaba por aí. "Os números primos têm muitas propriedades que são misteriosas até hoje, mesmo para os matemáticos profissionais, depois de milênios de pesquisa", afirma Carlos Gustavo Moreira, pesquisador do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa), no Rio de Janeiro. Duvida? A história de Carlos é prova da persistência desse enigma. Pesquisador num dos mais respeitados centros de matemática do mundo, seu ofício consiste em explorar propriedades de primos formados por muitos dígitos.

Viviane inovou ao apresentar os números primos à turma. Foto: Marcelo Cura

Esse potencial fascinante, que dá origem a doutorados e instiga gênios das exatas, costuma ser desperdiçado na escola. Quase sempre os professores se limitam a apresentar o conceito e enfileirar uma lista de primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Visto dessa maneira, o conteúdo passa como uma curiosidade sem interesse, o que está longe de ser verdade. "Em termos matemáticos, é um exemplo de tema especulativo - que estimula nosso pensamento -, o que já justificaria sua abordagem. Para completar, os primos têm aplicações muito relevantes na vida concreta", defende Celia Carolino, docente da Universidade Federal do Mato Grosso (UFMT).

Um primeiro passo para demonstrar a importância do tema é conferir sentido à definição de que um número primo só é divisível por 1 e por si próprio. Um ótimo exemplo é a atividade proposta ao 6º ano pela professora Viviane Hummes, da EMEF Mario Quintana, em Porto Alegre, e do Projeto Círculo da Matemática, do Instituto TIM. A demonstração do conceito veio por meio de um desafio geométrico. Viviane pediu que a turma desenhasse, em papel quadriculado, todos os retângulos que ocupassem 7, 9, 11, 12 e 15 quadrados. O que aconteceu?

Para alguns números, como o 12, havia diversas possibilidades ? 2 linhas por 6 colunas, 3 linhas por 4 colunas e assim por diante. Mas para os números 7 e 11 havia apenas duas: ou enfileirava- se os quadrados na horizontal ou na vertical (veja ilustração acima). "A ideia era que os estudantes percebessem que os números se dividem em dois grupos: aqueles que só podem ser representados por dois tipos de retângulo - os números primos - e os que admitem mais do que duas possibilidades", lembra ela.

Mais do que apenas justificar o total de divisores dos números primos, a atividade ajuda os alunos a visualizar o Teorema Fundamental da Aritmética. Segundo ele, todo número natural (inteiro e positivo) maior que 1 pode ser escrito como uma multiplicação de primos, como fizemos com os números de página desta matéria. "A atividade com retângulos remete à história da disciplina. Era assim que os matemáticos da Grécia Antiga representavam os números para poder estudar as propriedades deles", destaca o especialista Marco Martins, coordenador pedagógico do Colégio Santa Cruz, na capital paulista. A referência aos gregos é uma boa forma de prosseguir com a explicação. Euclides (325 a.C.-265 a.C.), por exemplo, provou que há uma quantidade infinita de números primos (veja como ele fez isso no quadro abaixo).

 

A GEOMETRIA EXPLICA OS PRIMOS

Eles são representados por
apenas dois tipos de retângulos

DESAFIO: Desenhe todos os retângulos que ocupem 7, 11 e 12 quadrados.

RESPOSTA: O 12 possibilita vários retângulos, com diferentes números de linhas e colunas. O 7 e o 11, por sua vez, só podem ser representados de duas formas: com uma coluna vertical ou uma linha horizontal. Suas dimensões são os divisores dos números primos.

 

Guardadores de segredo

Em 2 mil anos de pesquisa, os conhecimentos sobre os números primos avançaram. Por isso, é importante discutir as descobertas e as aplicações mais recentes. "Ao observar esses achados, os estudantes reconhecem a Matemática como uma ciência viva, em transformação", diz Marco.

Hoje, o principal uso desses números se dá na realização de operações bancárias e compras com cartão de crédito pela internet. Quando você digita seus dados em um site, a informação é transmitida de maneira cifrada: o computador a transforma, utilizando um código que apenas o receptor - no caso, a operadora do cartão - consegue decifrar. Isso se chama criptografia.

No caso da criptografia do tipo RSA, atualmente a mais utilizada no mundo, o código se baseia em uma multiplicação entre dois números primos. É difícil decifrar o código porque os bancos guardam a sete (número primo!) chaves os números envolvidos nessa multiplicação. Eles podem ser enormes: quando um número tem 200 dígitos, o processo que leva à sua descoberta pode durar até 150 anos (leia plano de aula aqui).

Quando não estão preocupados em proteger nossas compras, os estudiosos dos primos quebram a cabeça para resolver problemas que permanecem sem solução, como a Conjectura de Goldbach, formulada no século 18. Ela afirma que todo número par maior que 2 é soma de dois primos. Apesar de parecer fácil verificá-la com números pequenos (12 = 7 + 5, 20 = 17 + 3, e assim por diante), não há uma prova de que ela seja verdadeira para todos os números pares existentes. Conhecendo questões que tiram o sono dos matemáticos, talvez seus alunos sonhem em resolvê-las um dia.

Descobertas antigas e enigmas atuais

Matemático do Impa lista achados sobre primos

 

 Moreira, do Impa:
"Propriedades dos primos seguem guardadas há milênios". Foto: Thyago Mayerhofer

Infinidade de números primos
Autor
Euclides
Época século 3 a.C

"Se houvesse uma quantidade finita de primos, poderíamos multiplicar todos eles, obtendo um inteiro múltiplo de todos os primos. Somando 1 a esse número, teríamos um inteiro que não seria múltiplo de nenhum primo ? o que é um absurdo, pois todo inteiro maior que 1 pode ser escrito como um produto de primos. Logo, esse novo número é múltiplo de algum primo."

 

Conjectura dos primos gêmeos
Autor Yitang Zhang
Ano 2013

"Zhang provou que existe um inteiro positivo c tal que, para infinitos pares (p, q) de primos, a diferença q - pé igual a c. Zhang provou que c pode ser menor que 70.000.000. Ainda não sabemos se c pode ser igual a 2. Ou seja: não se sabe se existem infinitos pares de primos gêmeos (primos com diferença 2, como 17 e 19, ou 41 e 43), mas todo mundo acredita que sim."

 


Ilustração: Alice Vasconcellos  

Consultoria: Marco Martins, coordenador da Educação de Jovens e Adultos do Colégio Santa Cruz, em São Paulo.