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Será que vai caber?

Para aprender volume sem decoreba, é preciso comparar medidas e relacionar sólidos diferentes

POR:
Beatriz Santomauro e Lucas Freire

"Como calcular o volume de areia que existe em uma caçamba em formato de paralelepípedo?" Esse foi o primeiro desafio relacionado a volumes que o professor Fabricio Eduardo Ferreira apresentou ao 8º ano da EMEF Professor Wagner Hage, em Pindorama, a 380 quilômetros de São Paulo. "Verifiquei que os alunos conheciam a fórmula do volume de um paralelepípedo, mas porque tinham entrado em contato com ela anteriormente e decorado. Mais importante do que isso era que eles compreendessem que volume é o lugar que um objeto ocupa no espaço, uma grandeza que pode ser medida", diz. Para atingir esse objetivo, o professor previu quatro aulas de trabalho duro, que incluíram empilhamento de cubos dentro de um paralelepípedo, discussões sobre equivalência de volumes, preenchimento de água em sólidos de acrílico e a formalização das fórmulas (acompanhe esse passo a passo nas fotos que ilustram esta reportagem).

Fabricio iniciou o trabalho com atividades relacionadas ao paralelepípedo e ao cubo para então avançar nas propostas com prismas e pirâmides. A escolha dos sólidos não foi aleatória: tanto o paralelepípedo quanto o cubo são formas muito presentes no cotidiano - em embalagens e construções. Além disso, têm características próximas, como ângulos retos e faces iguais.

Qual a relação entre o volume de prismas e pirâmides?

Os alunos preencheram com água os sólidos de acrílico e, mesmo depois de alguma bagunça, afirmaram: quando a área das bases e as alturas são iguais, o volume da pirâmide mede um terço do volume do prisma. "Os alunos geralmente dizem que o volume do prisma é maior, mas não sabem quanto maior", diz Fabricio.

O cubo pode ser entendido como a unidade de medida relacionada a ele, o centímetro cúbico ou metro cúbico, por exemplo. "Prismas e pirâmides são mais complexos, porque não permitem uma visualização tão próxima como a dos cubos e têm um cálculo menos intuitivo. Por isso, o estudo desses sólidos deve ficar para um segundo momento", explica Carlos Mathias, do Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino da Universidade Federal Fluminense (UFF).

Pensando nisso, Fabricio apresentou pequenos cubos e um paralelepípedo de madeira para que fossem preenchidos. Essa proposta de análise e contagem de cubos também é defendida por Mathias e por outra especialista, Célia Maria Carolino Pires, da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS). Segundo eles, esse tipo de empilhamento é importante para que os estudantes compreendam a relação existente entre área e volume. Enquanto a área corresponde apenas à cobertura do fundo do paralelepípedo, o volume considera também a altura do sólido, isso é, o preenchimento de todo o objeto em sucessivas camadas - o que explica a fórmula do volume ser multiplicar a área da base pela altura. Outra opção semelhante é analisar o cubo mágico, como sugere Valkiria Karnopp, vencedora do Prêmio Educador Nota 10 em 2012 e professora dos anos finais do Ensino Fundamental da EM Governador Pedro Ivo Campos, em Joinville, a 176 quilômetros de Florianópolis. Para Valkiria, a atividade é semelhante porque o brinquedo é um sólido maior composto de cubos menores.

Para a aula seguinte, Fabricio propôs discussões sobre equivalência de volumes. A ideia era que a turma compreendesse que sólidos de mesma medida possuem o mesmo volume, ainda que seu formato possa ser diferente. Para investigar a questão, o professor dividiu a turma em grupos, distribuiu uma quantidade igual de pequenos cubos para cada um e pediu que eles utilizassem os sólidos para fazer uma construção, explicando que não seria necessário seguir um formato específico. Os alunos apresentaram suas construções uns aos outros e foram questionados sobre quais tinham volume maior, menor ou igual. O professor também apresentou um baralho com cartas empilhadas e, em seguida, empurrou parte delas, modificando o formato do pequeno monte. Na discussão com a turma, chegaram à conclusão que a medida do volume se mantém, já que não havia aumentado o número de cubos nem de cartas.

Só então foi a hora de falar em fórmulas. Fabricio foi ao quadro para construir a equação do cálculo do volume do paralelepípedo e do cubo, formalizando o que tinha sido visto até então. Ele também introduziu o cálculo do prisma, mostrando que a multiplicação da área da base pela altura também valia para esse sólido, qualquer que fosse o formato da base. Esse entendimento ajudou na comparação entre os volumes do prisma e da pirâmide - a atividade com água que ilustra o início desta reportagem.

Quantos cubos preenchem um paralelepípedo?

Fabricio apresentou um cubo de 1 cm³ (o espaço ocupado por um cubo cuja aresta mede 1 cm) e propôs que os alunos adivinhassem quantos daqueles pequenos cubos seriam suficientes para preencher o paralelepípedo. Ele mostrou uma figura na apostila, mas notou que havia muitas dúvidas naquela representação, por ser bidimensional, e que seria mais eficiente apresentar objetos. "Naquele momento, o centímetro cúbico era a unidade de medida e os alunos deveriam ver quantos cabiam no sólido maior", conta o educador. A mesma lógica ajudaria a calcular o volume da caçamba em forma de paralelepípedo que desafiou a turma.

Mergulhando no metro cúbico

O estudo avança com a apresentação das unidades de medida. Para Mathias, isso deve ser feito quando os estudantes já dominam os conceitos iniciais sobre volume. Ele sugere que o professor levante a discussão sobre o que é medir, explicando que se trata de comparar com uma unidade de referência. "Quando um paralelepípedo mede 6 dm³, isso significa que o volume tem o equivalente a 6 cubinhos de 1 dm³", exemplifica. Valkiria indica que uma possibilidade é fazer a relação entre m³, dm³, cm³, e entre 1 dm³ e litro. "Por exemplo: 1 m³ = 1 m x 1 m x 1 m. Se for necessário transformar 1 m³ em dm³, devem utilizar a lógica de que 1m = 10 dm, e então: 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm³. Logo, 1 m³ = 1.000 dm³", diz. Perceba que esse é um percurso muito diferente do que apenas indicar que o aluno deve "andar" com a vírgula para encontrar os valores.

Depois do 8º ano, o conteúdo é retomado no fim do Ensino Fundamental. É essencial relembrar os conceitos principais para dar mais complexidade às propostas do 9º ano. Valkiria faz uma proposta ousada. Ela divide seus alunos em grupos, pede que eles construam maquetes de piscinas e calculem o volume. Os objetos têm o formato de paralelepípedos, mas a criatividade de cada grupo pode incluir os degraus de acesso às piscinas, por exemplo. Nesses casos, os alunos descontam o volume ocupado pelos degraus e assim encontram o valor total.

Já na escola de Fabricio, para o 9º ano está previsto o estudo do volume do cilindro e do cone. "Nesse caso, o professor pode retomar o cálculo da área da circunferência. É uma associação semelhante entre o quadrado e a pirâmide de base quadrada e o pentágono e a pirâmide de base pentagonal", diz Valkiria. Ter clara essa relação é importante também para os conteúdos do Ensino Médio, que incluem propostas como calcular a densidade de objetos.

Olhando pra trás, Fabricio ficou satisfeito com a aprendizagem de sua turma. Fugiu do formato-padrão de ensinar, que se restringe a apresentar fórmulas e propor cálculos e mais cálculos. Seus alunos passaram a entender o que significa volume e sua utilidade. Sabem fazer medições, relacionar diferentes sólidos e como empregar diferentes unidades de medida. E o volume da caçamba, aquele enigma proposto pelo professor na primeira aula? Para o tamanho do conhecimento da turma, o desafio ficou pequeno.

Como calcular?

Qual é o volume de um paralelepípedo que tem as seguintes medidas: 5 cm de comprimento, 3 cm de largura e 2 cm de altura. Fabricio (à direita) fez essa pergunta e, a cada resposta da turma, registrou no quadro esquemas ou desenhos: quantos cubinhos (de unidade-padrão de 1 cm³) cabem no comprimento? Quantas fileiras de 5 cubinhos podem ser construídas na largura do paralelepípedo? Quantas camadas são necessárias para abarcar sua altura? Por fim, ouviu uma bela explicação de um aluno: "Como cada camada possui 15 cubinhos, o volume do paralelepípedo será de 30 cubinhos (5 cm x 3 cm x 2 cm = 30 cm³)". "Esse é o momento de formalização do que foi aprendido. Com o apoio da turma, construo a expressão do volume", conclui Fabricio.


Fotos: Marcos Rosa