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Sala de Aula | Matemática | 9º ano | Sala de aula


Por: Jacqueline Hamine e Wellington Soares

Bháskara é só uma alternativa

Explorando contextos e procedimentos, as equações de 2º grau ficam mais claras

Ilustração: Opala Rosa Choque

Ao ler a sentença matemática x² - x - 306 = 0 é difícil imaginar de onde esse conjunto de números e letras surgiu. Sem uma explicação sobre a origem ou a lógica por trás dessa escrita, as equações perdem sentido. "Muitas vezes, foca-se apenas nos procedimentos de resolução, sobretudo a fórmula de Bháskara", alerta Célia Carolino Pires, docente colaboradora da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS).

Toda equação é resultado de um processo que envolve a análise de um problema e a elaboração de uma generalização com base nele. Esse trajeto deve ser um dos principais norteadores do trabalho com álgebra, área da Matemática que envolve o uso de letras. "Ao refletir sobre situações específicas, os estudantes identificam um princípio geral e encontram uma condição válida para operar todas as circunstâncias semelhantes", esclarece Nilson Machado, professor da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo (USP).

A expressão da primeira linha desta reportagem, por exemplo, se originou do seguinte enunciado: "Em uma reunião, todos os participantes trocaram apertos de mão. Um dos presentes contou 153 cumprimentos no total. Como descobrir quantas pessoas estavam presentes?". Para chegar à solução, é preciso que os alunos encontrem uma maneira de calcular a quantidade de saudações, chamada de a, qualquer que seja o número de pessoas presentes, identificado pela letra x. Pode-se começar a reflexão analisando com a turma quantos cumprimentos são dados quando há 2 pessoas na sala, depois 3, 4, 5. Com base nesses dados, descobre-se que a quantidade de apertos de mão é igual à metade do número de pessoas multiplicado por ele mesmo menos 1 (leia a sequência didática). Em linguagem matemática: a = x (x - 1) ÷ 2. Ao substituir as variáveis pelos valores do problema, chega-se à equação 153 = x (x - 1) ÷ 2, que também pode ser escrita como x² - x - 306 = 0.

Outros contextos que permitem desenvolver esse raciocínio estão ligados a conteúdos dos demais campos da disciplina, como o cálculo de áreas. Nesses casos, as fórmulas que representam as generalizações costumam já ter sido apresentadas aos alunos em anos anteriores.

Com a equação em mãos, os vários procedimentos que levam às soluções também precisam ser discutidos com os jovens. Normalmente, Bháskara é o método mais apresentado pelos docentes, mas há muitos outros. A escolha do melhor caminho até as respostas depende de cada problema proposto. "Analisar os desafios e saber eleger a opção mais adequada é uma habilidade importante de ser abordada nesse conteúdo", defende Saddo Ag Almouloud, coordenador do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

As primeiras atividades podem recorrer a conhecimentos que os jovens já possuam, como as soluções de equações de 1º grau, fatorações e propriedades das operações, também estudados anteriormente. Por exemplo: ao lidar com a equação x² = 16, os estudantes podem chegar às respostas apenas calculando as raízes quadradas de 16 (4 e -4). Portanto, cabe valorizar momentos em que os alunos resolvam sozinhos as questões da maneira como for possível para eles e depois discutam e compartilhem com os demais estudantes as diferentes estratégias utilizadas.

Outra abordagem possível é conhecida como soma e produto. Para utilizá-la, deve-se conhecer a forma geral das equações de 2º grau, modo como todas podem ser escritas: ax² + bx + c = 0. A soma dos resultados, também chamados de raízes, é igual ao valor de -b ÷ a, e o produto delas é igual à multiplicação de c por a. Com esses valores, fazem-se tentativas para chegar às respostas.

A fatoração também pode ser utilizada. Um exemplo: em equações como x² - 2x = 0, coloca-se o x em evidência: x (x - 2) = 0. Sabendo que o produto de uma multiplicação só é 0 quando o valor de uma de suas parcelas é igual a 0, chega-se às soluções: x = 0 ou x = 2.

Enfim, a fórmula
Boa parte das equações de 2º grau pode ser resolvida ao se lançar mão desses procedimentos. Mas há casos em que a aplicação da fórmula de Bháskara é a estratégia que exige menor esforço. Apenas nesses momentos o uso dela deve ser recomendado. "A utilização exige pouco raciocínio e pouco desenvolvimento do conhecimento lógico-matemático. Por isso, deveria ser ensinada depois de todas as outras", afirma Saddo.

A apresentação deve acontecer justamente quando a turma chegar à conclusão de que os outros métodos não são os melhores, como em equações difíceis de fatorar. Em um primeiro momento, o professor pode deduzir a fórmula, ressaltando que sua origem também se dá com base em uma fatoração. Em seguida, apresenta-se o passo a passo de aplicação: calcula-se o valor do discriminante (identificado pela letra grega delta) e depois encontram-se os valores de x, com o uso das fórmulas abaixo.

Os alunos podem ser apresentados a questões que permitam analisar o melhor procedimento para solucioná-las. Vale destacar que nem sempre todos os valores encontrados se aplicam, como nas medidas geométricas, que não podem ser negativas.

Compreender as equações de 2º grau e suas possibilidades de resolução é importante para muitos conteúdos com que os estudantes lidarão no Ensino Médio, tanto em Matemática quanto em outras disciplinas, como Física e Química.