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Expressões numéricas que fazem sentido

Elas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas com a garotada

POR:
Anna Rachel Ferreira

Ao escrever uma expressão longa no quadro e pedir que os alunos a resolvam, é quase certo que todos vão ficar quietos por um tempo, dedicados à tarefa. Mas o que eles acabam aprendendo é que se trata apenas de diversas contas juntas e que há regras para resolvê-las. Nada muito interessante e significativo, não é? 

"As expressões servem para traduzir uma situação real em números, para construir modelos utilizados na Física e na Engenharia e ainda para escrever um só número de forma extensa", diz Angélica Garcia Silva, docente da Universidade Bandeirante Anhanguera (Uniban). Por isso, o que se espera da boa aula de Matemática sobre o conteúdo é que ela ensine a criançada a interpretá-lo e resolvê-lo considerando as convenções e propriedades matemáticas e não apenas aplicando tudo isso de forma mecânica. 

Para começar o trabalho, é possível recorrer a situações contextualizadas para facilitar a compreensão do tema, mas sem perder o foco que a evolução do estudo implica chegar a questões puramente matemáticas, descontextualizadas. 

Na EMEF Antônio Minella, em Farroupilha, a 108 quilômetros de Porto Alegre, Adriana Danelon desenvolveu uma sequência didática de introdução ao tema para o 6º ano. Sabendo que a sala já havia estudado um pouco a respeito no ano anterior (mas que ainda tinha muito a avançar), pediu que, em grupos, todos elaborassem problemas que envolvessem diversas operações.

Uma das ideias foi: "Greicy comprou 60 casacos por 40 reais cada um, 75 calças por 25 reais cada uma e 52 blusas por 15 reais cada uma na loja de Luísa. Luísa comprou 25 óculos por 12 reais cada um, 35 pares de brincos por 20 reais cada um e 15 bolsas por 35 reais cada uma na loja de Greicy. Quanto Greicy deve a Luísa? E quanto Luísa deve a Greicy?". A educadora chamou a atenção para que todos verificassem a possibilidade de resolução do que estavam propondo e, em seguida, redistribuiu as questões entre as crianças. Elas deveriam representar o problema em expressões numéricas. Uma das resoluções:

 

Com base no que o aluno mostrou, discuta coletivamente o que ele fez: calculou as multiplicações e depois somou os produtos - um provável indício de que se lembra da convenção que dita que multiplicações e divisões devem ser resolvidas antes de adições e subtrações. Mas outras crianças podem proceder diferente. Se algumas seguirem a ordem da esquerda para a direita, por exemplo, intercalando multiplicações e somas, os resultados serão outros (928.905 e 235.025, respectivamente). É importante colocar em discussão diversos procedimentos mesmo que esse erro não apareça. Assim, os alunos entendem as razões dessa convenção. Também é possível usar isso como gancho para explorar o uso dos sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves). "Eles têm a função de unir partes iguais da expressão, que devem ser solucionadas em conjunto", diz Ubiratan Arrais, mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). É por meio deles que são expressas as propriedades matemáticas, como a distributiva. Por exemplo: "Em um álbum há 3 páginas com espaço para figurinhas de 4 mamíferos e 5 aves e 2 páginas com espaço para figurinhas de 3 répteis e 4 animais em extinção. Tenho 5 álbuns iguais. Quantas figurinhas preciso para preencher todos eles?".

Nesta situação, em 3 x (4 + 5) e 2 x (3 + 4), é possível operar todas as somas primeiro e depois multiplicá-las por 3 e 2, respectivamente (o caminho mais econômico). Ou, então, aplicar a propriedade distributiva, fazendo 3 x 4, 3 x 5, 2 x 3 e 2 x 4 e somar os produtos.

A caminho da descontextualização 

Para explorar o uso dos sinais de associação, no Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), na capital fluminense, Leticia Rangel pediu que a turma do 6º ano respondesse à questão: "Quais das expressões abaixo representa o problema? Um tanque tinha 120 litros de água. Dele foram retirados 6 baldes de 10 litros cada um e 6 vasilhames com capacidade para 4 litros cada um. Quantos litros de água restaram no tanque?".

"Quis que todos pensassem sobre o significado das convenções e entendessem que isso implica em situações e resultados distintos", diz Leticia. 

Depois de pensar, a meninada concluiu que para responder à questão não tinha de resolver todas as alternativas em busca dos resultados. Bastava ler o problema com atenção e encontrar a que melhor o representava. Nesse caso, a terceira. Isso porque sem os parênteses a resolução começaria pela multiplicação 6 x 10 (referente aos 6 baldes de 10 litros cada um) e não envolveria o 4 (referente aos 6 vasilhames de 4 litros cada um), desrespeitando a situação. 

Outra discussão que também pode ser lançada: é possível escrever o problema com outra expressão? Sim, mas é preciso refletir sobre os sinais de associação e as operações:

Essa expressão atende ao enunciado pois aponta que devemos subtrair do total de litros do tanque (120) os litros retirados com os 6 baldes (60) e depois subtrair o novo total dos litros retirados com os 6 vasilhames (24). É interessante ainda questionar a criançada sobre o que ocorre ao mudar a posição dos colchetes:

O resultado é diferente porque os colchetes estão em outro lugar, ou seja, o agrupamento é diferente. Ele representa, além do mais, algo que não aconteceu, segundo a consigna. Esse tipo de atividade dá aos estudantes a chance de mudarem a posição dos sinais de associação diversas vezes e pensar sobre os resultados. 

A generalização do estudo de expressões numéricas, portanto, deve focar no contexto puramente numérico. Adriana, de Farroupilha, pediu que os alunos analisassem algumas situações e usassem parênteses, se necessário, para a manutenção das igualdades. Por exemplo:

Para a afirmação ser verdadeira é necessário que seja escrita assim:

É com problemas dessa natureza que as convenções matemáticas passam a fazer sentido. Adriana também propôs a análise de algumas expressões para que fossem estabelecidas relações de "maior que" ou "menor que". Por exemplo:

Seguindo esse caminho, a turma pode ser desafiada com expressões que também envolvam números racionais e irracionais, por exemplo. E, um pouco mais à frente, encarar expressões numéricas algébricas tendo claro como e por que respeitar as convenções.

1 Elaborar problemas Solicite que os alunos, em grupos, elaborem problemas que envolvam diversos cálculos e troquem entre si. Depois, discuta: para solucioná-los, basta seguir a ordem em que as operações aparecem?   

2 Sinalizar associações Aproveite as produções para abordar diferentes possibilidades de resolução. Questione como sinalizar o que deve ser calculado antes e o motivo: respeitar o contexto, as propriedades e as convenções. 

3 Generalizar o conteúdo Apresente atividades com expressões descontextualizadas e peça que sejam comparadas, por exemplo. É possível, usando apenas sinais de associação, fazer com que elas sejam equivalentes?

 

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