Introdução à álgebra

Propor uma ou mais seqüências de figuras como a abaixo, acompanhada de perguntas voltadas para a generalização das relações entre as variáveis. 

 

 

 

 

- Quantos quadradinhos escuros terá a próxima figura dessa seqüência?

- Quantos quadradinhos escuros terá a próxima figura dessa seqüência?

- Quantos quadradinhos brancos terá a décima figura dessa seqüência?

E depois, para generalização:
- Como você faria para descobrir a quantidade de quadradinhos escuros de qualquer figura dessa seqüência?
- Como você faria para descobrir a quantidade de quadradinhos brancos de qualquer figura dessa seqüência?
- Uma variação é pedir que imaginem que os cubinhos com pelo menos uma face exposta que compõem cubos maiores, formados com qualquer número de cubinhos, foram pintados. Algumas das perguntas que podem ser feitas são:

a) Quantos cubinhos pintados terá o cubo formado por 8 cubinhos? E por 27?
b) Quantos cubinhos sem pintar terá a próxima figura desta seqüência?

E depois, para generalização:

c) Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos pintados de qualquer figura dessa seqüência?
d) Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos sem pintar de qualquer figura dessa seqüência?

Possivelmente nem todos os alunos conseguirão dar respostas imediatas, talvez por poucas oportunidades de, percebendo as regularidades, fazer generalizações. Este é, no entanto, um dos mais importantes aspectos para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Propor problemas de distintas naturezas, sempre adequando aos seus objetivos de ensino e aprendizagem, numa aula que envolva momentos de reflexão individual, em duplas e grupos maiores, momentos de ação (a resolução de problemas), de formulação (a reflexão com a dupla e com grupos maiores), de validação (a proposição de afirmações perante o grupo ou grupo oponente), e de sistematização (a institucionalização dos saberes do grupo).

Tomando como ponto de partida as soluções dos alunos, destacar que existem várias maneiras de resolver um mesmo problema e que uma ferramenta importante são as equações. Propor atividades que envolvam a resolução de equações, preferencialmente associadas à situações-problema.

Antes da institucionalização, as interações entre os alunos devem levar um tempo, para que eles possam explorar as diferentes idéias, analisar, testar etc. Deve-se ter um momento para que todos possam se apropriar do que os outros disseram, para que experimentem outros procedimentos e vejam quais são válidos ou não etc.

Por exemplo:

- Descubra a quantidade de diagonais que tem um polígono, em relação ao número de lados que apresenta.

Quantidade de lados de um polígono (n)	3	4	5	6	7	n
Quantidade de diagonais do polígono (x)

 - Com 100 rodas posso fazer quantas bicicletas e triciclos?

- Tenho 100 reais para comprar feijão e farinha. O quilo de feijão custa 3 e a farinha 2 reais. Quanto de cada posso comprar?

Mudar o contexto de um problema, como nos exemplos acima, de unidades discretas para contínuas, muitas vezes oferece um grau de desafio maior para os alunos. O contexto do problema imbui de sentido a notação algébrica.

Uma fórmula como "3x + 2y = 100" já dá informação sobre as duas variáveis em ambos os problemas acima, mas os alunos, imediatamente, não chegam a essa fórmula. Alguns alunos, por exemplo, necessitam escrever duas fórmulas, uma para cada variável.

Ao tentar resolver um problema, os alunos tentam distintas coisas e podemos validar certos conhecimentos matemáticos e, também, apontar se algo está bem ou mal. Frente a um problema, alguns alunos podem subtrair ou agregar dados que não estão colocados, outros tentam por estimativas, outros tentam algo mais sistemático etc. Nem todos os alunos vêem as variáveis que estão colocadas nos problemas.

Escrever uma fórmula é uma maneira de sintetizar, numa só solução, várias possibilidades de resolução; a fórmula sintetiza as relações variáveis de toda uma categoria de problemas. Nesse sentido, a escrita da fórmula supõe um aprofundamento das relações dos problemas. É bom lembrar, porém, que as fórmulas não dão conta de resolver todos os problemas.

Pode ser, também, que uma fórmula seja compreensível para um grupo de alunos, mas talvez não seja acessível a todos os alunos; e talvez não seja interessante, ainda, torná-la pública para todos. Na classe também devem haver espaços privados, nos quais se respeitem os espaços de cada aluno para, depois, num momento adequado, tornar algo público.

Propor situações que envolvam equilíbrio, por exemplo, com atividades com balanças de dois pratos como às atividades a seguir:

- As figuras abaixo mostram balanças em equilíbrio, o que significa que os pesos colocados nos pratos esquerdo e direito se equivalem. Responda as perguntas a seguir considerando que pesos indicados pela mesma letra são pesos iguais.



Agora responda:

a) o valor do "peso D "?
b) o valor do "peso C "?
c  o valor do "peso B "?
d) o valor do "peso A "?
e) o valor do "peso X "?

- As balanças ilustradas abaixo representam situações de equilíbrio. Descubra os números que tornam essa igualdade verdadeira.



a. Se tirarmos 15 do prato da direita, ela mantém o equilíbrio? Desenhe uma balança nessa situação e justifique sua resposta.
b. O que você precisaria fazer no prato da esquerda para que a balança voltasse a ficar em equilíbrio? Desenhe a balança nessa nova situação.
c. Qual o valor de X?
d. Que operações você fez para chegar ao resultado?

Essas atividades fazem uma analogia entre o funcionamento da balança de dois pratos e os processos de resolução de equações. Muitos alunos verbalizam que "o que se tira (ou põe) num prato, tem que fazer igual no outro".