Equações de 2º grau

POR:
novaescola

Objetivo(s) 

  • Analisar, interpretar, modelizar e resolver situações-problema que envolvam equações de 2º grau e validar os resultados encontrados.
  • Explorar diferentes procedimentos para determinar as raízes de equações de 2º grau.

Conteúdo(s) 

  • Equações de 2º grau.

Ano(s) 

Tempo estimado 

7 aulas.

Material necessário 

Folhas de papel, lápis e borracha.

Desenvolvimento 

1ª etapa 

Proponha a análise, discussão e resolução em grupo dos problemas abaixo.

a) A medida da área de um terreno de formato quadrado é de 324 m². Qual é a medida do lado desse terreno?

b) Para qual valor de x, um triângulo de lado x e base com 6 cm e um quadrado de lado x possuem a mesma medida de área?

Problema

c) Qual o valor de x para que um trapézio de bases com 6 cm e 2 cm e altura igual a x tenha a mesma medida de área de um retângulo cuja altura mede x e a base 3x?

Problema

Deixe que os alunos tentem resolver e, em seguida, socialize os procedimentos e as respostas. Estimule a turma a apresentar formas de expressar cada um dos enunciados e destaque escritas de equações de 2º grau. Caso elas não apareçam, escreva-as no quadro:

a) x² = 324
b) x² = 6x ÷ 2 ou x² = 3x
c) 3x² = (6 + 2) x ÷ 2 ou 3x² = 4x

2ª etapa 

Sugira a discussão do problema: "Em uma reunião, todos os participantes trocaram apertos de mão. Um dos presentes contou 153 cumprimentos no total. Como descobrir quantas pessoas estavam presentes?". Monte uma tabela com valores hipotéticos relacionando a quantidade de pessoas, o número de apertos de mão por pessoa e o total de cumprimentos. Peça que, com base nos resultados, a turma tente encontrar uma fórmula para calcular os apertos de mão (representados por a), com base no número de presentes (chamado de x). Discuta com a turma que cada pessoa presente cumprimentou a todos, exceto ele mesmo. O resultado seria, portanto, a multiplicação de x por x - 1 para se chegar ao resultado final. Entretanto, nessa multiplicação, cada aperto é contado duas vezes. Assim, a fórmula final seria a = x (x - 1) ÷ 2. Quando aplicada ao problema inicial, encontra-se a equação x (x - 1) ÷ 2 = 153, escrita também como x² - x - 306 = 0 na forma geral. Reserve um tempo para que tentem resolver em grupos e, em seguida, compare estratégias utilizadas por cada agrupamento.

3ª etapa 

Peça que a turma analise as estratégias utilizadas por um aluno hipotético para resolver os problemas abaixo.

a) A medida de área de um quadrado é igual a 121 m². Qual é a medida do lado dele?
Resolução:

Resolução 1

b) A diferença entre o quadrado de um número e o dobro dele é nula. Determine qual é esse número.
Resolução:

Resolução 2

c) O triplo do quadrado de um número inteiro é igual ao seu quíntuplo. Determine o número.
Resolução:

Resolução 3

Ao discutir as questões b e c, destaque que o problema foi resolvido por fatoração, colocando a incógnita x em evidência. Com base nisso, usa-se a propriedade que garante: se a × b = 0, então a, b ou ambos são iguais a 0. Para que os alunos realizem alguns cálculos com essa mesma estratégia, peça que resolvam individualmente as equações abaixo. Estimule-os a encontrar todos os resultados possíveis para cada questão.

a) 3x² = 4x
b) 2x² - 6x = 0
c) 3x² - 15x = 0
d) x² - 12x = 0
e) 5x² = x
f) 7x² = 56x
g) x² - 16 = 0
h) x² + 13 = 18

4ª etapa 

Explique que a fórmula de Bháskara é uma alternativa para a resolução das equações de 2º grau. Comente que o uso dela deve ser considerado em cada caso. Em boa parte das vezes, as estratégias apresentadas anteriormente são mais eficientes, por exigirem menos cálculos. Mostre a fórmula e explique como utilizá-la.

5ª etapa 

Proponha que os alunos resolvam em grupo as equações abaixo, elegendo a melhor estratégia para cada uma. Reserve um tempo para a solução e socialize as estratégias utilizadas.

a) x² + 12x - 28 = 0
b) x² - 11x = -10
c) 6x² - 5x + 1 = 0
d) -3y² + 1 = -2y
e) (n + 1)² + (n - 1)² = n² + 4n + 7
f) z² - 5z + 4 = 0
g) m + 4 = m² - 3m + 7
h) (z - 3)² + (z - 1)² = (z + 2)² - 21

Avaliação 

Com base nas resoluções apresentadas na 5ª etapa, verifique se os alunos reconhecem e utilizam diferentes estratégias para resolver equações de 2º grau. Também observe se eles compreendem que algumas equações possuem mais de uma resposta e que, ao substituir as soluções no lugar da incógnita, a equação inicial se torna uma sentença verdadeira.

Créditos: Célia Carolino Pires (consultoria) Formação: Docente da UFMS Créditos: Grace Zaggia Utimura (consultoria) Formação: Professora da rede municipal de São Paulo e doutoranda na Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul).

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