Trabalho inicial com raizes de números exatos

Ilustrações: Bruno Nunes

Dê um basta ao enunciado "a raiz quadrada de um número N é igual a um número positivo elevado ao quadrado" e aos tradicionais exercícios que costumam ser propostos aos estudantes após essa explicação. Quando esse é o procedimento colocado em cena, é comum surgirem perguntas como "Para que isso serve?", "De onde surgiu essa ideia?" e "Por que é feito assim?".

A raiz quadrada é um conteúdo que tem pouquíssima ligação com os contextos cotidianos e está mais relacionada ao puro fazer matemático e ao trabalho de profissionais como arquitetos, engenheiros, projetistas e programadores. "Por ser uma ideia bastante abstrata, dificilmente os jovens vão entendê-la somente com uma explicação teórica", fala Andréia Silva Brito, docente da EEEFM Carlos Drumond de Andrade, em Presidente Médici, a 412 quilômetros de Porto Velho.

"Para que os alunos construam um entendimento lógico do conceito de raiz quadrada e realizem a operação com números de diferentes grandezas, é preciso propor que encontrem soluções para diversos problemas", diz Priscila Monteiro, assessora de Matemática de redes públicas e privadas e selecionadora do Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10.

A saída é explicar que o valor da raiz está na área do quadrado

O termo raiz, de acordo com o dicionário Houaiss, quer dizer "base ou parte inferior". E quadrada remete "à figura plana quadrado". As definições ajudam a compreender que extrair a raiz quadrada exata de um número significa encontrar o tamanho de um dos lados de um quadrado conhecendo sua área. A ideia foi concebida por matemáticos árabes e adotada pelos europeus no fim da Idade Média. Iniciar o trabalho em sala com essa estratégia geométrica é um bom caminho, pois ela garante que o aluno perceba um sentido para o cálculo (leia a sequência didática).

Por exemplo: se uma toalha tem 25 centímetros quadrados de área, qual o tamanho de cada um dos lados? Vale lançar mão do cálculo mental, usar a calculadora, desenhar a figura em papel quadriculado e calcular por aproximação: incentive o grupo a encontrar diferentes estratégias e ferramentas para chegar ao resultado (veja três possibilidades de calcular a raiz quadrada de 144 no quadro abaixo). Usá-las para discutir os procedimentos válidos e econômicos é uma excelente ferramenta didática - lembrando que não existe só uma maneira certa para resolver um problema.

Outra possibilidade para explorar o assunto ainda usando a geometria é mostrar quadrados de tamanhos diferentes e pedir que os estudantes descubram a medida dos lados e a área. "Com ou sem régua, eles podem quadricular as figuras e contar quantos quadradinhos iguais foram criados", explica Ademir Pereira Júnior, professor do Colégio Estadual Adaile Maria Leite, em Maringá, a 423 quilômetros de Curitiba. Ao quadricular uma das figuras, quem obtiver cinco quadradinhos iguais em linha, por exemplo, vai saber que o lado da figura mede 5, e a área, 25 - e, em consequência disso, chegará à raiz de 25.

Os bastidores do raciocínio

A geometria é uma das formas de encontrar a raiz quadrada. Confira outras três possibilidades de resolução, mostradas no exemplo seguinte: .

Aproximação

A base desta estratégia é buscar a resposta usando a tabuada de números iguais memorizada (ou não) até alcançar o número pedido.

Decomposição

A ideia é decompor o número do qual quer se encontrar a raiz em números primos, começando pelo 2. Após obter o resultado 1, basta agrupar os divisores em pares e realizar uma multiplicação.

Método chinês

Requer subtrair do número do qual se quer encontrar a raiz números ímpares até obter zero. O resultado é a quantidade de contas, pois a soma de sucessivos ímpares é um número quadrado.

Potenciação e tabuada ajudam a compreender o cálculo

Um deslize muito comum que a moçada costuma cometer é tentar calcular a raiz quadrada dividindo o número por 2. O erro aparece quando se baseia na ideia que se  é 2 (já que 4:2 também resulta 2) porque  não pode ser 32 e  não é 50? Por isso, é interessante que os jovens reconheçam que a radiciação é o inverso da potenciação e percebam que a base do conteúdo é a tabuada de números iguais (como 3 x 3, 9 x 9 e 15 x 15). Assim, fica mais fácil entender outros caminhos de resolução e os diversos conceitos que existem por trás deles e, dessa forma, compreendê-los melhor.

Trabalhar dessa maneira permite que os jovens, quando estiverem nas séries finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, saibam resolver equações algébricas e fórmulas químicas que tenham raízes, escolher a melhor estratégia para ser usada e explicar por que a resposta faz (ou não) sentido.

A estratégia ajuda a moçada a dominar as ferramentas matemáticas para que saibam usá-las não somente na vida cotidiana como também para resolver questões teóricas sem enxergá-las como um amontoado de algarismos, letras e símbolos sem sentido.