Produtos notáveis

Há quatro edições, NOVA ESCOLA vem apresentando na série Temas Desafiadores reportagens sobre conteúdos considerados complicados tanto pelos alunos como pelos educadores. Enquanto o primeiro time parece não assimilar satisfatoriamente o que é explicado, o segundo muitas vezes se vê sem alternativas para ensinar de um jeito que todos compreendam. Este mês, o tema eleito para ser dissecado são os produtos notáveis - expressões algébricas que recebem esse nome justamente por aparecerem de maneira recorrente.

"Compreendê-los é essencial para elaborar cálculos complexos, como algumas funções e equações. "Tal como as operações básicas, eles não se esgotam em si próprios", explica Marcio da Silva, doutor em Educação Matemática e docente da pós-graduação da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS).

Existem mais de 30 estruturas classificadas como tal e, no Ensino Fundamental, é previsto que a turma entre em contato com três:

(a + b) (a - b) A diferença de dois quadrados, ou seja, de 
a² - b². 

(a + b)² Indica o quadrado da soma, ou seja, de a² + 2ab + b², chamado de trinômio do quadrado perfeito. 

(a - b)² O produto que resulta no quadrado da diferença, ou seja, de a² - 2ab + b², chamado também de trinômio do quadrado perfeito.

 

Cálculo da área e fatoração são as bases dos produtos notáveis

Para ajudar o grupo a manipular essas expressões com tranquilidade, você precisa garantir duas aprendizagens (leia na última página problemas e possíveis equívocos).

A primeira delas está relacionada ao conceito proporiamente dito. É preciso fazer a turma construir uma ideia a ponto de entender o que as letras estão representando nesse contexto, por que se tratam de expressões acompanhadas do expoente 2 e também que os produtos notáveis têm uma relação direta com a figura geométrica quadrado.

Para tal, visualizar as expressões algébricas calculando a área do quadrilátero é um recurso interessante (leia a sequência didática). Ao transpor o produto notável para uma representação gráfica e efetuar o cálculo da área, os alunos conseguem visualizar a origem e o significado de termos como 2ab. "E eles rompem com a ideia de que as letras são expostas de determinada maneira só por convenção de uma regra", diz Andréia Brito, professora de Matemática da EEEFM Carlos Drumond de Andrade, em Presidente Médici, a 412 quilômetros de Porto Velho. Perceba que em nenhum momento é recomendado buscar situações cotidianas para explorar o tema. A exemplo de outros, produtos notáveis é um conteúdo puramente matemático.

Tome como exemplo o seguinte problema: calcule a área do quadrado e depois a área das figuras que o compõem.

Para saber a área do quadrado, basta elevar ao expoente 2 a medida dos lados do quadrado, ou seja (a + b)². No caso das figuras que o formam, as áreas dos quadrados (amarelos) obedecem ao mesmo procedimento e são respectivamente a² e b². Para saber a área dos dois retângulos (cor de rosa e que têm o mesmo tamanho), é preciso efetuar a multiplicação da base pela altura e multiplicar por dois, ou seja 2 vezes a vezes b. Sendo assim, é possível concluir que (a + b)² equivale e pode ser representado por a² + 2ab + b².

Porém o trabalho não deve ficar apoiado exclusivamente em questões geométricas. A interpretação das figuras nesse caso é uma estratégia limitada: nem sempre é possível encontrar um modelo simples para explicar os produtos notáveis quando eles apresentam expoentes maiores, por exemplo.

Estimular a turma a substituir as letras por números é, então, outra tática que deve ser colocada em jogo. E isso tem tudo a ver com a segunda aprendizagem que precisa ser assegurada por você.

Sim, porque não basta propor aos jovens que usem 3 no lugar de a e 1 no de b em (a + b)², por exemplo.

Os especialistas são unânimes ao afirmarem que, quando tem um produto notável em mãos, a garotada tende a apelar automaticamente para a propriedade distributiva da adição aplicada à multiplicação, em vez de usar a fatoração.

É um pensamento comum entre os estudantes: "Se a regra é válida para 2(a+b), também deve funcionar para (a + b)², por exemplo". Isso ocorre porque eles não entenderam que existe uma relação implícita entre a fatoração e a potenciação.
Para isso ficar claro, vale sugerir que as substituições numéricas sejam feitas tanto em (a + b)² como em a² + b² e inclusive em a² + 2ab + b², contrapondo os resultados. Assim, o grupo vai comprovar que a² + 2ab + b² é a representação fatorada de (a + b)².

Assegurando o trabalho correto com a fatoração você ajuda os estudantes a acabar com as dúvidas, já que eles passam a enxergar os dois conteúdos - produtos notáveis e fatoração de maneira conectada. E mais: não deixam de considerar a aplicação da propriedade distributiva da adição aplicada a multiplicação uma estratégia válida para outros contextos matemáticos.

Enunciados, respostas equivocadas e análises
Observe nos casos abaixo problemas que envolvem o conceito de produtos notáveis em suas diferentes representações. Veja as soluções propostas por alunos e as possíveis análises

Resolva as operações (5 + 3)² e (5 - 3)².

(5 + 3)² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
e
(5 - 3)² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

Comentário O estudante usa um conhecimento construído adequadamente - a propriedade distributiva da adição aplicada à multiplicação - em um contexto no qual ele não é válido. Repare que ele aplicou o expoente 2 para cada termo da expressão, demonstrando que não compreendeu a propriedade adequada para trabalhar com o produto notável, que é a fatoração. Ou seja, o correto é fazer 25 + (2 x 5 x 3) + 9, que resulta em 64 e 25 - [2 x 5 x (-3)] +9, o que resulta 4.

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Se possível, fatore as seguintes expressões:
a) 16e² + 16e + 4
Tendo 16e² + 16e + 4, podemos dizer que 16e² = (4e) (4e) = (4e)² e que 4 = (2) (2) = 2² Sendo assim, tenho (4e)² + 16e + 2², que é um produto notável como a² + 2ab + b², que é (a + b)².
Então, (4e)² + 16e + 2² fatorado é (4e +2)²

b) 9z⁴ - 12z²y + 25y²
9z⁴ = (3z)(3z) = 3z²
25y² = (5y)(5y) = 5y²
(3z)² - 12z²y + 5y²
(3z + 5y)²

Comentário O estudante desenvolveu corretamente o cálculo na questão a e aplicou as mesmas regularidades em b, o que fez com que ele errasse em três aspectos:
1) O cálculo da potenciação: 9z⁴ não é o mesmo que (3z)(3z), muito menos que (3z)². O correto é (3z²)².
2) O emprego do sinal da operação, usando o quadrado da soma em vez do quadrado da diferença.
3) Fatoração propriamente dita, pois (3z + 5y)² não é o mesmo que 9z⁴ - 12z²y + 25y², e sim 9z² + 30zy + 25y².
Ou seja, b é um trinômio impossível de ser fatorado.

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Na figura abaixo, o lado do quadrado ABCD mede x e o lado do quadrado CMNP mede y. Observe e responda:

a) Indique o produto que fornece a área da figura I.
(x - y) x = x² - xy
x² - xy

b) Indique o produto que fornece a área da figura II.
(x-y) y = xy - y²
xy-y²

c) Indique a soma das áreas das figuras I e II.
x² - xy + xy - y²
xy - yx = (x² - y²)

d) Escreva a área da figura amarela como diferença de dois quadrados.
x² - y

Comentário O estudante resolveu corretamente as questões a e b. Porém demonstrou dificuldade em transpor o produto da soma pela diferença de dois termos do registro geométrico para o algébrico. Na questão c, cometeu um equívoco por reduzir os termos semelhantes -xy+xy a xy², quando na verdade, o correto é (x² - y²). Para responder à questão d, ele usa as respostas dos cálculos anteriores, quando a atividade dizia respeito à figura inteira, o que implica na expressão x² - y².