ANÚNCIO
Você sabia que é possível salvar matérias para ler mais tarde? Use o botão Ler mais tarde

Problemas de proporção

No estudo da proporcionalidade, é essencial analisar grandezas, compreender o contexto do problema e usar várias estratégias de cálculo

por:
BB
Bianca Bibiano
Agosto de 2010
Ilustração: Stefan
Ilustrações: Stefan

Desde os primeiros anos do Ensino Fundamental, os alunos conseguem resolver problemas do tipo "se duas maçãs custam 3 reais, qual será o valor de quatro?" sem saber que se trata de uma proporção. Lançam mão de estratégias variadas, como os desenhos e a adição sucessiva, e não costumam encontar obstáculos. Já por volta do 6º ano, o conteúdo passa a ser trabalhado de forma mais ampla e recebe o nome de proporcionalidade: a relação - direta ou inversa - de valores de duas grandezas, sendo que a grandeza é algo que pode ser medido, como tempo e unidades.

Nessa fase, começam a surgir mais dificuldades, muitas vezes devido à maneira de o professor abordar esse conteúdo (leia o quadro com a análise dos principais equívocos cometidos pelos alunos na página seguinte). Isso ocorre quando a regra de três é apontada como o único caminho de resolução ou se mostra uma definição para que as crianças aprendam. Garanta a aprendizagem considerando o que elas já sabem e proponha situações complexas. Esses conhecimentos serão usados mais adiante, durante o ensino do Teorema de Tales, das funções, do cálculo de problemas que envolvem a
escala etc. 


O primeiro passo é saber quando existe a proporção

"É essencial o aluno compreender a relação estabelecida entre as grandezas de um problema para decidir se usa ou não as estratégias da proporcionalidade", diz José Pastore Mello, professor do Colégio Santa Cruz, em São Paulo. Tomar uma decisão dessas implica analisar vários enunciados, como este: "João tem 5 anos, e seu pai, 30. Quando João tiver o dobro de sua idade, seu pai também terá duas vezes o que tem hoje?" As discussões devem mostrar que João terá 10 anos daqui a cinco anos. Nesse tempo, o pai terá 35 anos, e não 60. Portanto, não é uma relação proporcional. "Ao mesmo tempo que o aluno aprende que existe proporção, deve notar que nem sempre ela está presente", diz Ruy Pietropaolo, da Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban) e selecionador do Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10.

Problemas, equívocos e seus porquês
Nos exemplos abaixo estão os principais pontos em que os alunos se confundem. Compreendê-los é o caminho para ajudar a turma a avançar

Análise de problemas

Um atleta corre 100 metros em 10 segundos. Numa prova de 800 metros, ele levará 80 segundos?

Resposta do aluno
Sim, porque, se a distância que ele correr for 8 vezes maior, o tempo tambem será 8 vezes maior.


Comentário: o aluno levou em conta a proporcionalidade, mas a situação é irreal porque o corredor não consegue manter essa velocidade constante em provas que exigem habilidades tão distintas.

Busca de regularidades diretas

Tenho um quadrado com 3 centímetros de lado e outro com o dobro da medida. A área da segunda figura também será o dobro da área da primeira?

Resposta do aluno
Sim. Se o lado é o dobro, a área também é.

Comentário: o estudante considerou que o lado e a área são diretamente proporcionais, o que não é verdade. Nesse caso, a área ficou quatro vezes maior.

Busca de regularidades inversas

Um automóvel percorre determinada distância em 3 horas com a velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade média for de 120 km/h, quanto tempo levará para ele atravessar a mesma distância?

Resposta do aluno
Dobro da velocidade:
60 km/h x 2 = 120 km/h
Dobro do tempo:
3 horas x 2 = 6 horas
Ele levará 6 horas.


Comentário: o aluno achou que as grandezas (velocidade e distância) eram diretamente proporcionais e na verdade a relação entre elas é inversa: se a velocidade dobrar, o tempo será a metade.

Análise de constantes

Um colecionador produziu um folheto para divulgar a venda de seus discos antigos. Observe a tabela abaixo e responda se existe uma razão de proporcionalidade entre a quantidade de discos e o preço cobrado. Se sim, qual é ela?

tabela

 

Resposta do aluno
Sim, existe porque, se aumenta o número de discos, aumenta o preço. Nesse caso, a razão é 4.


Comentário: é verdade que, se aumenta o número de discos, o preço também aumenta. Porém não na mesma proporção. Se fosse assim, dois discos custariam 10 e não 9. O que o aluno considerou como razão 4 é o valor unitário de cada disco depois da segunda unidade vendida.

Problemas ajudam a identificar a relação entre grandezas

Ilustração: Stefan

Resolver, errar e retomar problemas faz com que os estudantes notem se os dados proporcionais têm uma relação direta (as duas grandezas aumentam) ou inversa (uma aumenta e a outra diminui). Mas essas definições não bastam. Calcular a constante (ou razão) é o que permite entender como esses valores são alterados. "É essencial que as variações sejam proporcionalmente iguais e não aleatórias", explica Pastore. Para compreender esse conceito, os estudantes podem analisar e justificar afirmações como esta: "Se 1 pacote de figurinhas tem 5 unidades, logo, 13 pacotes terão 65. A relação entre o número de pacotes e de figurinhas é diretamente proporcional". Dividindo uma grandeza pela outra, como 5 ÷ 1, nota-se que o resultado é igual a 5.

Organizar os dados dos problemas é uma maneira de enxergar o que se tem disponível e pensar na melhor estratégia para resolvê-los (leia a sequência didática). Isso pode ser feito em tabelas, na regra de três, em pequenos textos, ou em contas armadas. Esses registros também colaboram para a compreensão da proporcionalidade inversa, como no problema a seguir: "Em uma fábrica, 5 máquinas pintam 10 metros de tecido em 30 minutos. Se a pintura for feita em 15 minutos, quantas máquinas serão necessárias?" Para solucioná-lo, os alunos podem fazer testes com os valores do número de máquinas ou com o tempo. A chave para compreender essa relação é notar que, se dobrar o número de máquinas, o tempo diminuirá pela metade e a constante será o produto da multiplicação dos números de máquinas pelo tempo (5 x 30 = 150).

Izabella Oliveira, da Universidade Laval, no Canadá, considera que a análise do raciocínio feito pelos alunos deve fazer parte do trabalho do professor. Dessa forma, outras situações podem ser planejadas, incluindo propostas com variáveis diversas, como no uso de números decimais e fracionários nos problemas, para oferecer desafios progressivos.

Reportagem sugerida por 2 leitores: Fernanda Cristine Andrade de Oliveira, Fazenda Rio Grande, PR, e Luiz Alfredo Ferraz, Petrópolis, RJ

Quer saber mais?

CONTATOS
Izabella Oliveira 
José Pastore Mello
Ruy Pietropaolo

BIBLIOGRAFIA
Enseñar y Aprender Matemática - Propuestas para el Segundo Ciclo, Héctor Ponce, 88 págs., Ed. Novedades Educativas, 14 dólares (em espanhol)

ANÚNCIO
LEIA MAIS