Generalizações algébricas

Há "n" maneiras de usar as letras para fazer dos alunos craques na disciplina. Trabalhar com variáveis ajuda a generalizar pensamentos

POR:
Cinthia Rodrigues, NOVA ESCOLA, Beatriz Vichessi
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Por não ser um conteúdo fechado em si mesmo, e sim uma linguagem, a álgebra deve ser explorada lado a lado com a aritmética para facilitar o entendimento de vários temas da Matemática envolvendo a expressão de fatos genéricos. "Muita gente acha impossível explorar as diversas estruturas algébricas no Ensino Fundamental, perdendo a chance de fazer os alunos generalizarem o pensamento e simplificarem questões", alerta Alessandro Ribeiro, doutor em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e especialista em álgebra.

Quando trabalha com questões matemáticas que envolvem letras, a garotada tende a buscar desenfreadamente por números para substituí-las (leia o quadro com três problemas e possíveis equívocos na última página). Fazer esses caracteres intrusos desaparecer é o objetivo principal da turma porque finalizar um problema com "n" no resultado é sinal de que alguma coisa está inacabada ou errada. Essa percepção sinaliza que a álgebra está sendo explorada em sala de modo superficial: o foco está demasiadamente direcionado para a dimensão que trabalha com as equações, em que as letras são incógnitas e valores numéricos que podem e devem ser definidos.

Por isso, nesta reportagem, a terceira da série Temas Desafiadores, vamos explorar uma função da álgebra em específico: a generalização. Além de a garotada se confundir com respostas que têm letras e apresentar dificuldades quando precisa elaborar pensamentos para representar um número qualquer, generalizar é um pré-requisito para dominar as outras três funções algébricas:

- Manipular estruturas matemáticas O objetivo é tornar as expressões mais sintéticas. Tal como ocorre quando se transforma (b2 - 1) : b - 1 em b + 1.

- Resolver problemas A ideia é descobrir valores numéricos encobertos trabalhando com equações. Por exemplo: para saber quantos carros e motos existem num estacionamento com 52 veículos e 134 rodas, faz-se 2m + 4c = 134, sendo m para motos e c para carros. Considerando que m = 52 - c e usando a expressão acima, teremos 2 (52 - c) + 4c = 134, o que resulta em 104 - 2c + 4c = 134, que resulta em 2c = 30. Há 15 carros e 37 motos.

- Expressar variações A proposta é representar a varição de duas grandezas, como ocorre em A = b x h, sendo que a área (A) do retângulo é determinada em função das medidas da base (b) e da altura (h) da figura.

Sequências geométricas ajudam a identificar padrões

Ilustração: Stefan

Pesquisas na área apontam que o modo e a sequência com que se propõem as atividades influenciam diretamente o jeito como se aprende (ou não) os diversos conteúdos que envolvem a álgebra. "Inverter a ordem que tradicionalmente é dada na escola, deixando as equações para depois e priorizando as generalizações, é uma alternativa que faz as letras aparecerem de modo mais natural e intuitivo", explica Humberto Luís de Jesus, assessor técnico educacional da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo. Trabalhar assim também ajuda a evidenciar eventuais fragilidades aritméticas.

Generalizar é um conhecimento prévio que pode auxiliar no domínio das outras três funções e é por isso que o tema precisa ser desenvolvido em sala. Não se trata só de trabalhar com álgebra, mas fazer matemática.

Apresentar desafios que envolvem sequências de figuras geométricas é uma boa estratégia inicial porque permite à turma experimentar e fazer tentativas a fim de resolver questões e conferir resultados (leia a sequência didática). É interessante questionar o grupo sobre como serão as figuras seguintes às que foram dadas, pois isso auxilia a expressar qual regra determina a sequência. Assim o professor impulsiona a garotada a pensar além do intervalo já conhecido. "As hipóteses têm de ser usadas não para explicar o que já está posto, mas para prever o desconhecido e, consequentemente, perceber o que é válido para toda a sequência", explica Jesus. Isso também dá aos estudantes liberdade para responder textual ou graficamente.

Perguntar qual é a regra da sequência se torna mais interessante posteriormente porque defini-la requer um poder de abstração: é preciso considerar uma posição qualquer e usar letras em vez de números. "A linguagem simbólica só deve entrar em cena quando os alunos tiverem condições de manipulá-la", argumenta Jesus.

Vencido o desafio de determinar como são as figuras seguintes, aí sim é hora de desestabilizar os estudantes, provocando-os com questões difíceis de responder com textos e desenhos. Qual o aspecto da figura que ocupa a posição 100? Será necessário que eles trabalhem com as operações e as relações envolvidas lançando mão da artimética. Vale também propor atividades que envolvam sequências numéricas.

É percorrendo esse caminho que as generalizações ganharão destaque no repertório dos alunos. E ficará mais fácil encaminhá-los para aplicar fórmulas, contribuindo para a apropriação das diferentes facetas da álgebra e a aprendizagem de conteúdos futuros que ela envolve, como as equações de 2º grau.

Desafios, respostas e comentários
Os exemplos abaixo são de problemas que requerem generalizações algébricas. Veja algumas possíveis soluções apresentadas por alunos e análises que ajudam a superar os equívocos



Qual o perímetro de determinada figura geométrica que tem n pedaços com 2 centímetros cada?

2 x n
n é a 14ª letra do alfabeto. Então 2 x 14 = 28


Comentário O estudante empregou de maneira correta a generalização, mas não aceitou a ideia de encerrar a resolução com uma letra, recorrendo às posições do alfabeto. Com isso, demonstrou que ainda não compreende que, nesse caso, n é uma variável.


Em uma tabela com infinitas linhas, aparecem consecutivamente o zero e todos os números naturais. Em que linha e coluna se encontra o número 123?

Na coluna 3 porque o 120 está na coluna zero, já que termina em zero. Não sei qual é a linha.

Comentário O estudante fez uma generalização errada, acreditando que se 120 (que termina em zero) está na coluna zero, 123 (que tem o último dígito 3), deve ficar na coluna 3. Ao observar que nas colunas 1, 2 e 3 estão, respectivamente, os múltiplos de 4 mais 1, 4 mais 2 e 4 mais 3 e que as linhas são múltiplos de 4, é possível descobrir a posição de qualquer número dividindo-o por 4. O resultado indica a linha, e o resto, a coluna.


Conheço a soma e a diferença de dois números quaisquer. Quais são esses números?

A soma pode ser 100, e a diferença, 40. O número menor é z. Então, o número maior é z + 40. Portanto, 2z + 40 = 100. Logo z = 30 e o número maior é 70.

Comentário O estudante fixou dois valores arbitrários para apontar a soma e a diferença, desconsiderando a informação de que se trata de quaisquer números e, consequentemente, que a soma e a diferença são variáveis e não incógnitas. Se generalizasse, poderia ter chamado a soma de a e a diferença de b, o número menor de z e o maior de y. Portanto, teria 2z + y = a, logo

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CONTATOS
Alessandro Ribeiro
Humberto Luís de Jesus

BIBLIOGRAFIA
As Ideias da Álgebra
, Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte, 285 págs., Ed. Atual, tel. (11) 3933-4000, 98 reais
Análise de Erros - O Que Podemos Aprender com as Respostas dos Alunos, Helena Noronha Cury, Ed. Autêntica, 120 págs., tel. (31) 3222-6819, 32 reais
Entre Aritmética y Álgebra: Un Camino que Atraviesa los Niveles Primário y Secundário, Ethel Barrio, Liliana Lalanne e Anália Petich, Ed. Novedades Educativas, 240 págs., 22 dólares

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