Diferentes usos das frações

Quando você propõe atividades que exigem lidar com as representações fracionárias, os estudantes costumam emperrar em pontos básicos, como somas que têm denominadores diferentes e comparações entre grandezas?

A saída para que eles superem essas dificuldades é desenvolver um estudo focado em dois conceitos fundamentais que envolvem os números racionais: a equivalência (que, nunca é demais lembrar, não é a mesma coisa que igualdade) e os diversos significados e usos de números como 1/2 e 189/15.

Dominando esses pontos, os alunos vão conseguir resolver os problemas de maneira mais autônoma, podendo fazê-lo sem ter de se ater obrigatoriamente às técnicas mais usuais, como é o caso do cálculo do mínimo múltiplo comum (MMC) e do máximo divisor comum (MDC). "Também poderão escolher lidar com as representações fracionárias ou decimais correspondentes", diz Horacio Itzcovich, coordenador da equipe de Matemática da direção de currículo de Buenos Aires, na Argentina. E mais: vão perceber que as frações aparecem em diferentes contextos, e não somente na ideia de parte e inteiro.

Usar o conceito de parte para compreender o inteiro

Pode parecer estranho para quem domina os conteúdos matemáticos, mas os alunos geralmente não concebem com facilidade que 12/24 é um número e está inserido na reta numérica, tal como 0,5, 243 e -1.986 (leia a sequência didática). Muito menos que a fração é um dos jeitos (não o único) para apresentar um valor - nesse caso, 12/24 é o mesmo que 3/6 ou 0,5. Explorando esse cenário, você os ajuda a compreender melhor esse conceito e também a noção de equivalência (leia os quadros na próxima página com dois problemas e alguns possíveis equívocos cometidos pelos estudantes).

Por já conhecer os decimais desde as séries iniciais, os jovens até conseguem estabelecer relações entre eles e as frações com os denominadores 10, 100 e 1.000 e respondem corretamente que 25/100 é equivalente a 0,25. Porém param por aí e não chegam à ideia de que 25/100 é o mesmo que 1/4 nem que 1/4 é o mesmo que 0,25.

Você pode estar pensando que, se tocar nessa questão, correrá o risco de a turma confundir igualdade com equivalência e se perder ainda mais.

Sim, essa confusão é corriqueira, mas precisa ser esclarecida. Para superar o obstáculo, é preciso apresentar as demais utilidades da representação fracionária, conforme explica Humberto de Jesus, assessor técnico da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.

- Expressar comparação entre duas quantidades: para situações que envolvem probabilidade e cálculo de razão. Por exemplo: "Na escola, foram impressos 150 bilhetes de rifa e Aline comprou 20. Quais as chances de ela ganhar?" A resposta é 20/150, mas também pode ser 2/15, ou ainda 0,133... e 20:150.

- Apresentar a ideia de quociente: para ocasiões que remetem à operação de divisão. Como ocorre em "foram dados 2 chocolates para 3 crianças de maneira que cada uma recebeu a mesma quantidade. Com quanto cada uma ficou?". É possível encontrar a resposta efetuando 2:3, que equivale a 2/3.

- Agir como operador: para momentos em que a fração atua sobre uma situação e a transforma. Por exemplo: "Guto tinha uma tira de 30 centímetros e deu 4/16 para Marcel. Quantos centímetros Guto deu para seu amigo?" Para chegar à resposta, uma das possibilidades válidas é dividir o tamanho da tira pelo denominador - que indica a quantidade de partes que está dividindo o total (30:16 = 1,875) - e multiplicar o resultado pelo numerador - que representa o total que Marcel ganhou (1,875 x 4 = 7,5).

Entretanto, Itzcovich alerta que não adianta só recorrer ao ensino de estratégias como dividir o numerador pelo denominador e encontrar um decimal que facilite o cálculo, nem multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo algarismo a fim de encontrar equivalentes, pois isso resume o aprendizado a estratégias prontas.

Experimente propor outro caminho, partindo do conceito de parte para reconstruir o todo.

Ou seja, em vez de pensar na divisão da tira em partes, convide o grupo a buscar quantas faltam para chegar ao inteiro, partindo de 4/16 (que nesse caso é 12/16). E siga em frente, propondo o desafio de elaborar outras representações equivalentes, tanto fracionárias como decimais, para pensar no inteiro. Por exemplo: 4/16 equivale a 2/8 e a 1/4. E todos eles podem ser representados por 0,25 ou por 25%. Todos levam ao mesmo resultado: Marcel recebeu 7,5 centímetros da tira.

Perceba que o caminho adequado é não focar o estudo só na divisão de inteiros. "Assim, os alunos compreendem que podemos usar as representações fracionárias e decimais para representar várias situações", diz Jesus. E, com isso, ganham confiança para encarar, por inteiro, todas as partes do conteúdo.

Desafios, respostas e comentários
Nos exemplos abaixo, estão dois dos principais pontos em que os alunos se atrapalham no trabalho com frações e decimais. Confira as análises

Otávio tinha uma coleção de 15 soldados de chumbo e deu a seu irmão Fernando 3/5 da coleção. Quantos soldadinhos Fernando ganhou?

Cálculo

Ele ganhou 0,90.

Comentário O estudante cometeu dois equívocos. O primeiro ao estabelecer relação direta com a ideia de parte e todo, atribuindo a 3 o papel de inteiro e calculando 15/5 de 3, sem perceber que nesse caso a fração atua como agente de transformação. O segundo erro ocorre porque ele não compreende que 15 soldados representam o inteiro, mas não um inteiro contínuo, como uma pizza ou um retângulo, e considerou correto o resultado de 0,90 soldadinhos, quando a resposta correta é 9.

Observe a parte sombreada nas seguintes figuras e aponte em quais delas a parte sombreada pode ser representada pela mesma fração.

As figuras 2 e 3 são equivalentes, porque nas duas a parte pintada é 3.

Comentário O aluno acredita que as partes sombreadas significam a fração, desconsiderando os denominadores diferentes. Isso ocorre com frequência em exercícios que envolvem inteiros discretos, em vez dos contínuos, como retângulos e círculos. Nesses casos, é comum que a turma se apoie nos conhecimentos que possui sobre números naturais, não conseguindo perceber que existe a equivalência nas figuras 3 e 4. Em ambas, a parte colorida representa 1/4 do inteiro.

Reportagem sugerida por 3 leitoras: Luciene Costa Carvalho, Campinas, SP, Rosângela Rossa, Serra, ES, e Vera Lúcia Ribeiro, São Paulo, SP