Que tal estudar geometria dinâmica?

Com programas como o Geogebra, todos desenham, resolvem problemas e elaboram conjecturas

POR:
Beatriz Vichessi
Algumas ferramentas do Geogebra. Reprodução/Geogebra. Ilustração: Bruno Algarve
Algumas ferramentas do Geogebra

Ensinar com softwares não tem a ver só com introduzir tecnologia nas aulas. De acordo com Sérgio Dantas, docente da Universidade Estadual do Paraná (Unespar), programas gratuitos como o Geogebra não devem ser encarados como um aprimoramento da régua e do compasso para trabalhar com construções geométricas. Os programas apresentam um novo modo de pensar, compreender e fazer Matemática.

Para Dantas, os alunos podem ir direto ao computador, sem passar pela fase dos desenhos no papel. "A aprendizagem se dá de modo diferente", diz. O conceito da mediatriz, por exemplo: com alguns comandos, o Geogebra define automaticamente o lugar geométrico e não o faz em etapas, como fazemos à mão. "O trabalho não se concentra só em construir objetos com o software e analisar propriedades. A aula pode ser baseada em arquivos feitos pelo professor em que os alunos modificam parâmetros e analisam os resultados obtidos", fala Dantas. Emerson Rolkouski, docente da Universidade Federal do Paraná (UFPR) completa: "Com o software, tiramos o foco dos procedimentos mecânicos e priorizamos os conceitos".

Para compreender, vale fazer uma analogia com a calculadora e o algoritmo. Cada vez mais em desuso, ele ainda é ensinado por questões culturais. Ao mesmo tempo, usar o equipamento eletrônico não quer dizer que a turma não aprenda. Ou seja, não se trata de eliminar as contas no papel, e sim de dar novos significados aos conteúdos e repensar o ensino. Além dessa quebra de paradigma, a exploração da geometria dinâmica agrega às aulas possibilidades antes impensáveis. Ver a mudança de uma figura passo a passo, voltar à imagem inicial, movê-la para fazer testes... No papel, tudo fica por conta da imaginação ou de confiar no que é mostrado (geralmente desenhos no estilo antes e depois).

Na EE Professor José Freire, em Juiz de Fora, a 276 quilômetros de Belo Horizonte, os alunos de Thales Pereira foram levados a resolver desafios em grupo, como os mostrados nas páginas seguintes. Antes, tinham feito atividades para explorar o software. "Usando o programa, eles podem, por exemplo, elaborar conjecturas, verificar a veracidade delas e arrastar os desenhos, obtendo diferentes situações", explica Pereira. O professor explicou à classe que figuras auxiliares poderiam ajudar. Confira.


  • Tutorial sobre como trabalhar com o Geogebra para ensinar geometria:

Atividade 1

Desafio das três árvores

Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve

Uma lenda diz que três irmãos receberam o testamento do pai: "Para o mais velho, deixo um pote com moedas de ouro. Ao do meio, um com moedas de prata e para o caçula, outro com moedas de bronze. Os três recipientes foram enterrados em minha fazenda de acordo com o esquema: na metade do caminho entre o pote com moedas de ouro e o com moedas de bronze, plantei a primeira árvore. Na metade do caminho entre o que contém moedas de bronze e o que guarda as de prata, a segunda. E, na metade do caminho entre o recipiente com moedas de prata e o com moedas de ouro, a terceira." Observe a figura acima e responda: onde é preciso escavar para encontrar cada pote?

  • Grupo 1
Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve

A equipe fez um triângulo, achou os pontos médios, traçou um novo triângulo com base neles e observou as regularidades - como M2M3 tem a mesma medida que M1A e CM1. Depois, usou isso na figura das árvores. Sabendo que AB tem 0,4, fez uma circunferência com esse raio e centro C (as outras têm raio de 0,32 com centro A e 0,19 com centro B). Nas intersecções estavam os potes. "Os alunos usaram a base média, segmento que une dois pontos médios dos lados de um triângulo. Ela tem metade da medida da base correspondente do triângulo e é paralela à base dele", diz Rolkouski.


  • Grupo 2
Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve

A equipe também fez uma figura auxiliar: determinou uma reta passando por DE e arrastou-a, fazendo com que ela passasse por A. Os alunos descobriram que eram paralelas. Então, voltaram à figura do problema. Fizeram um vértice em cada árvore e traçaram paralelas, tal como antes. Uma delas intercepta C e é paralela à AB. A segunda, intercepta A e é paralela à BC. A terceira intercepta B e é paralela à AC. O grupo optou por uma resolução rápida. "Os pontos médios de cada paralela aparecem já durante a construção do triângulo maior", diz Rolkouski.

Atividade 2

Desafio do ponto médio e altura de um triângulo qualquer

Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve

Determine um triângulo ABC levando em conta as informações abaixo e a imagem acima:

  • M1 é o ponto médio do lado AB do triângulo ABC e M2 é o ponto médio do lado AC do triângulo ABC.
  • H1 é o pé da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC.
  • M1, M2 e H1 são fixos.
  • Grupo 1
Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve

A equipe usou uma figura auxiliar feita por colegas e observou regularidades, como o paralelismo entre o segmento que une pontos médios de dois lados adjacentes de um triângulo e o outro lado. Com isso, traçou por H1 uma reta paralela ao segmento M1M2. Depois, no debate com a sala, viu ser possível traçar uma perpendicular por H1 e que DH1 e AD tinham medidas iguais. "Então, fizeram uma circunferência centrada em A e raio AH1. Onde ela tocou a perpendicular, foi determinado C, o terceiro vértice", diz Dantas. Por fim, traçou as semirretas CM1 e CM2 e achou D e E na interseção com reta por H1.


  • Grupo 2
Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve Atividade no Geogebra. Fotos Reproduções/Thales Pereira/Ilustrações Bruno Algarve

O grupo trabalhou com circunferências. Primeiro, marcou um ponto A e traçou 2 semirretas de origem nele, interceptando M1 e M2. Esperava interceptar o ponto H1 também, mas isso não ocorreu. A segunda imagem foi feita após debate com a sala. O grupo se valeu da fala dos colegas, como a da reta paralela ao segmento M1M2 passando por H1. "Mas, para resolver a questão, teria de ajustar o ponto A de modo que os pontos C e D ficassem sobre a reta por H1, o que não foi possível", conclui Dantas.

1 Geogebra, muito prazer Elabore atividades para a classe conhecer o software e as ferramentas disponíveis. Depois, apresente desafios relacionados ao conteúdo trabalhado no momento. Proponha a resolução em grupo.

2 Fazer, refazer e comparar Observe e auxilie o trabalho das equipes. Sugira que experimentem elaborar construções auxiliares para resolver as questões, comparem os resultados e também recorram ao que já sabem.

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