Expressões numéricas que fazem sentido

Elas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas com a garotada

POR:
Anna Rachel Ferreira
As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

Ao escrever uma expressão longa no quadro e pedir que os alunos a resolvam, é quase certo que todos vão ficar quietos por um tempo, dedicados à tarefa. Mas o que eles acabam aprendendo é que se trata apenas de diversas contas juntas e que há regras para resolvê-las. Nada muito interessante e significativo, não é?

"As expressões servem para traduzir uma situação real em números, para construir modelos utilizados na Física e na Engenharia e ainda para escrever um só número de forma extensa", diz Angélica Garcia Silva, docente da Universidade Bandeirante Anhanguera (Uniban). Por isso, o que se espera da boa aula de Matemática sobre o conteúdo é que ela ensine a criançada a interpretá-lo e resolvê-lo considerando as convenções e propriedades matemáticas e não apenas aplicando tudo isso de forma mecânica.

Para começar o trabalho, é possível recorrer a situações contextualizadas para facilitar a compreensão do tema, mas sem perder o foco que a evolução do estudo implica chegar a questões puramente matemáticas, descontextualizadas.

Na EMEF Antônio Minella, em Farroupilha, a 108 quilômetros de Porto Alegre, Adriana Danelon desenvolveu uma sequência didática de introdução ao tema para o 6º ano. Sabendo que a sala já havia estudado um pouco a respeito no ano anterior (mas que ainda tinha muito a avançar), pediu que, em grupos, todos elaborassem problemas que envolvessem diversas operações.

Uma das ideias foi: "Greicy comprou 60 casacos por 40 reais cada um, 75 calças por 25 reais cada uma e 52 blusas por 15 reais cada uma na loja de Luísa. Luísa comprou 25 óculos por 12 reais cada um, 35 pares de brincos por 20 reais cada um e 15 bolsas por 35 reais cada uma na loja de Greicy. Quanto Greicy deve a Luísa? E quanto Luísa deve a Greicy?". A educadora chamou a atenção para que todos verificassem a possibilidade de resolução do que estavam propondo e, em seguida, redistribuiu as questões entre as crianças. Elas deveriam representar o problema em expressões numéricas. Uma das resoluções:

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

Com base no que o aluno mostrou, discuta coletivamente o que ele fez: calculou as multiplicações e depois somou os produtos - um provável indício de que se lembra da convenção que dita que multiplicações e divisões devem ser resolvidas antes de adições e subtrações. Mas outras crianças podem proceder diferente. Se algumas seguirem a ordem da esquerda para a direita, por exemplo, intercalando multiplicações e somas, os resultados serão outros (928.905 e 235.025, respectivamente). É importante colocar em discussão diversos procedimentos mesmo que esse erro não apareça. Assim, os alunos entendem as razões dessa convenção. Também é possível usar isso como gancho para explorar o uso dos sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves). "Eles têm a função de unir partes iguais da expressão, que devem ser solucionadas em conjunto", diz Ubiratan Arrais, mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). É por meio deles que são expressas as propriedades matemáticas, como a distributiva. Por exemplo: "Em um álbum há 3 páginas com espaço para figurinhas de 4 mamíferos e 5 aves e 2 páginas com espaço para figurinhas de 3 répteis e 4 animais em extinção. Tenho 5 álbuns iguais. Quantas figurinhas preciso para preencher todos eles?".

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

Nesta situação, em 3 x (4 + 5) e 2 x (3 + 4), é possível operar todas as somas primeiro e depois multiplicá-las por 3 e 2, respectivamente (o caminho mais econômico). Ou, então, aplicar a propriedade distributiva, fazendo 3 x 4, 3 x 5, 2 x 3 e 2 x 4 e somar os produtos.

A caminho da descontextualização

Para explorar o uso dos sinais de associação, no Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), na capital fluminense, Leticia Rangel pediu que a turma do 6º ano respondesse à questão: "Quais das expressões abaixo representa o problema? Um tanque tinha 120 litros de água. Dele foram retirados 6 baldes de 10 litros cada um e 6 vasilhames com capacidade para 4 litros cada um. Quantos litros de água restaram no tanque?".

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

"Quis que todos pensassem sobre o significado das convenções e entendessem que isso implica em situações e resultados distintos", diz Leticia.

Depois de pensar, a meninada concluiu que para responder à questão não tinha de resolver todas as alternativas em busca dos resultados. Bastava ler o problema com atenção e encontrar a que melhor o representava. Nesse caso, a terceira. Isso porque sem os parênteses a resolução começaria pela multiplicação 6 x 10 (referente aos 6 baldes de 10 litros cada um) e não envolveria o 4 (referente aos 6 vasilhames de 4 litros cada um), desrespeitando a situação.

Outra discussão que também pode ser lançada: é possível escrever o problema com outra expressão? Sim, mas é preciso refletir sobre os sinais de associação e as operações:

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

Essa expressão atende ao enunciado pois aponta que devemos subtrair do total de litros do tanque (120) os litros retirados com os 6 baldes (60) e depois subtrair o novo total dos litros retirados com os 6 vasilhames (24). É interessante ainda questionar a criançada sobre o que ocorre ao mudar a posição dos colchetes:

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

O resultado é diferente porque os colchetes estão em outro lugar, ou seja, o agrupamento é diferente. Ele representa, além do mais, algo que não aconteceu, segundo a consigna. Esse tipo de atividade dá aos estudantes a chance de mudarem a posição dos sinais de associação diversas vezes e pensar sobre os resultados.

A generalização do estudo de expressões numéricas, portanto, deve focar no contexto puramente numérico. Adriana, de Farroupilha, pediu que os alunos analisassem algumas situações e usassem parênteses, se necessário, para a manutenção das igualdades. Por exemplo:

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

Para a afirmação ser verdadeira é necessário que seja escrita assim:

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

É com problemas dessa natureza que as convenções matemáticas passam a fazer sentido. Adriana também propôs a análise de algumas expressões para que fossem estabelecidas relações de "maior que" ou "menor que". Por exemplo:

As expressões numéricas são um bom recurso para discutir as propriedades matemáticas. Elisa Carareto

Seguindo esse caminho, a turma pode ser desafiada com expressões que também envolvam números racionais e irracionais, por exemplo. E, um pouco mais à frente, encarar expressões numéricas algébricas tendo claro como e por que respeitar as convenções.

1 Elaborar problemas Solicite que os alunos, em grupos, elaborem problemas que envolvam diversos cálculos e troquem entre si. Depois, discuta: para solucioná-los, basta seguir a ordem em que as operações aparecem?  

2 Sinalizar associações Aproveite as produções para abordar diferentes possibilidades de resolução. Questione como sinalizar o que deve ser calculado antes e o motivo: respeitar o contexto, as propriedades e as convenções.

3 Generalizar o conteúdo Apresente atividades com expressões descontextualizadas e peça que sejam comparadas, por exemplo. É possível, usando apenas sinais de associação, fazer com que elas sejam equivalentes?

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