Análise de simetrias com espelhos

As relações de simetria existentes na natureza e nas criações humanas sempre encantaram artistas e intrigaram matemáticos. Ao estudá-las e conhecê-las a fundo, é possível observar com mais detalhes as asas de uma borboleta e o vitral de uma igreja. Esse aprendizado deveria ser incentivado ao longo do Ensino Fundamental, mas infelizmente, quando chegam às salas de aula, as atividades se resumem a demonstrações rasas feitas pelo professor.

Foi com o objetivo de resgatar a beleza da Matemática e propor situações de investigação que Edson Thó Rodrigues deu início a seu trabalho com o 90 ano da EMEF Ministro José Américo de Almeida, em João Pessoa. Depois de fazer um diagnóstico dos conhecimentos dos estudantes, o professor dividiu-os em grupos e os colocou diante de uma série de experiências com espelhos e outros objetos. A ideia era aproveitar as propriedades de reflexão para que a moçada explorasse e entendesse o conceito de simetria, as relações entre ângulos e lados das figuras e o que é preciso para pavimentar o plano.

O trabalho foi dividido em etapas. Em cada uma, os alunos eram colocados frente a um desafio e tinham de levantar hipóteses, fazer testes e discutir os resultados obtidos. Em seguida, a turma socializava suas descobertas. Ao final, o professor reuniu a classe para sistematizar os conteúdos estudados.

Conheça, nas páginas seguintes, as experiências realizadas por Rodrigues com a garotada.

Verificar se a linha é eixo de simetria

O professor entregou a cada grupo um espelho plano e dez figuras geométricas com uma linha pontilhada desenhada nelas. A classe foi convidada a colocar o espelho perpendicular à linha e observar se a imagem que se formava completava a original. Rodrigues explicou que, caso isso ocorresse, tratava-se de um eixo de simetria. Caso não, a figura era assimétrica.

A classe entendeu que eixo de simetria é uma linha que divide a figura em duas partes simétricas.

Encontrar os eixos de simetria

Rodrigues distribuiu aos alunos mais figuras e propôs que, com a ajuda do espelho, descobrissem quantos eram os eixos de simetria de cada uma. O professor perguntou também se existem formas geométricas com infinitos eixos simétricos.

A turma observou que algumas figuras têm apenas um eixo de simetria, como o rosto humano. Outras possuem vários, como a estrela. E algumas não apresentam nenhum. Conversando, os estudantes descobriram que o círculo é a forma que conta com infinitos eixos simétricos passando por seu centro.

Ler as horas no espelho

Os estudantes foram desafiados a responder o que acontece quando colocamos um relógio de ponteiros em frente a um espelho. "As horas permanecem as mesmas?", indagou o docente. A turma fez o teste desenhando relógios em folhas de papel e observou que, na maioria dos casos, as horas mudam. O professor reuniu a classe para discutir os conceitos matemáticos por trás dessa constatação.

Com a ajuda de Rodrigues, os alunos entenderam o conceito de transformação de reflexão. Nas palavras deles, "trata-se da transformação de todos os pontos de uma figura em pontos simétricos refletidos no espelho".

Observar imagens em espelhos paralelos

Os grupos receberam um segundo espelho e o professor pediu que o colocassem paralelo ao primeiro. Em seguida, propôs que posicionassem um objeto entre eles e respondessem quantas imagens se formam e qual a relação de simetria existente entre elas.

A turma observou que se formam infinitas imagens. Os alunos aprenderam que o objeto é simétrico à imagem A em relação ao espelho 1. Esta é simétrica à imagem B em relação ao espelho 2 (veja o esquema).

Imagens de palavras em espelhos paralelos

A turma foi convidada a repetir a atividade anterior substituindo os objetos por letras e palavras. O professor pediu que tentassem explicar por que algumas letras são vistas na mesma posição em todas as imagens e outras não.

Os grupos concluíram que nem todas as letras são simétricas, por isso algumas mudam ao serem refletidas no espelho.

Livro de espelhos e figuras geométricas

Rodrigues entregou a cada grupo um livro de espelhos. É um material confeccionado com dois espelhos retangulares iguais, ligados pelas bordas de comprimento maior com tiras de tecido. Eles se abrem como se fossem duas folhas de um livro comum. O professor pediu que os alunos colocassem um canudo sobre a mesa, posicionassem o livro perpendicular a ele e observassem as imagens. E sugeriu que explorassem diferentes figuras geométricas de acordo com a abertura dos espelhos.

A classe notou que, quanto maior o ângulo de abertura, menor a quantidade de lados do polígono.

Livro de espelhos e regiões triangulares

Cada grupo recebeu figuras em formato triangular, com diferentes desenhos. O professor pediu que as posicionassem em frente ao livro de espelho e o movessem até que não sobrassem espaços vazios. Em seguida, perguntou qual era a figura formada e quantos lados tinha. Questionou também sobre a relação entre os ângulos internos e a quantidade de lados.

A classe comprovou que há uma relação entre os ângulos internos e o número de lados de uma figura geométrica. No exemplo, se forma uma figura de seis lados.

Três espelhos e a pavimentação do plano

Como última atividade, Rodrigues entregou um terceiro espelho à moçada e pediu que o colocassem perpendicular ao livro de espelhos. Propôs que observassem as imagens que se formavam e tentassem entender o que é necessário para pavimentar uma superfície plana, sem deixar sobreposições e espaços vazios. Os grupos realizaram a experiência e, em seguida, socializaram suas descobertas com os colegas. Ao final, o docente fez uma sistematização de todos os conceitos aprendidos.

Os alunos entenderam que nem todos os polígonos pavimentam o plano. Para que isso ocorra, a soma dos ângulos internos em torno de cada vértice tem que ser 360º. São necessários, por exemplo, seis triângulos equiláteros para pavimentar o plano. Podem ser feitas, também, pavimentações semirregulares, em que são usados dois ou mais tipos de polígonos.

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