Os alunos vão aprender a pensar negativo

Nada a ver com baixo-astral. Como ensinar os números que antecedem o zero e como fazer cálculo com eles.

POR:
Beatriz Vichessi
Elaine de Macedo usou a reta numérica como um apoio para ensinar os números negativos. Foto: Ramón Vasconcelos
Elaine de Macedo usou a reta numérica como um apoio para ensinar os números negativos

Até os anos iniciais do Ensino Fundamental, os estudantes lidam com algumas ideias matemáticas, como a de o zero dar início à sequência numérica (e, portanto, ser o menor número) e a da impossibilidade de fazer 100 menos 200. Depois, elas são abandonadas: entre o 6º e o 7º ano, é hora de eles conhecerem os valores menores que zero, à esquerda dele na reta numérica. A turma já sabe um tanto sobre isso: o saldo negativo de gols dos campeonatos de futebol, os lugares em que a temperatura é negativa... Sua tarefa é formalizar esse conhecimento e ampliar os saberes, isto é, ensinar os alunos a trabalhar com os negativos e positivos nas operações.

A turma tem de aprender a lidar com ideias como -3 é maior que -7 e -5 é menor que +3. "O que funcionava para os números naturais, os positivos, não faz mais sentido quando se trata dos negativos", diz Letícia Giordano, formadora do Mathema Formação e Pesquisa. Outro saber a ser adquirido é usar o sinal positivo para indicar os maiores que zero (com o passar do tempo, isso não será necessário: a classe terá ciência de que, se o sinal não aparece, trata-se de um positivo).

Na EM Emérito Nestor Lima, em Parnamirim, região metropolitana de Natal, Elaine de Macedo começa a trabalhar com a classe do 7º ano abordando termômetros e painéis de elevadores, onde os negativos aparecem. "Montamos uma reta numérica na vertical. Os modelos citados indicam, por exemplo, que -1 aparece abaixo do zero, seguido por -2, -3 etc.", ela diz. Outra possibilidade é iniciar o assunto com problemas como: "A empresa onde João trabalha deve a ele 550 reais de salário. No fim do mês, ele recebeu 400 reais. Quanto ainda lhe deve?"

A ideia de oposto foi ensinada por Elaine logo depois. Ela falou sobre os números iguais com sinais diferentes (como -10 e +10). Segundo Paulo Jorge Teixeira, docente da Universidade Federal Fluminense (UFF), a classe deve aprender também que os opostos são equidistantes do zero e que, se somados, o resultado é zero. Ele ainda diz ser essencial reforçar a notação matemática: o oposto de -4 é - (-4), ou seja, +4.

Em seguida, Elaine encaminhou comparações. Apresentou dois números positivos: +5 e +9 e, depois, dois negativos: -8 e -16. Ela questionou qual o maior entre os pares. "A solução sobre os positivos foi mais fácil. Para responder sobre os negativos, os jovens analisaram a posição dos números em relação ao zero e aos positivos na reta e concluíram que o que está mais perto do zero, -8, é maior do que o outro, -16." O desafio seguinte foi entre +5 e -10. Não houve dúvidas: "O positivo é sempre o maior", respondeu a classe.

Somar e subtrair com o apoio da reta

Com as relações de maior e menor aprendidas, a turma passou às operações. Primeiro, a adição. A tarefa era calcular (+4) + (+5). "A turma rapidamente disse +9, mas pedi que mesmo assim o deslocamento na reta fosse indicado", conta. Então, os alunos marcaram +4 e acrescentaram +5, indo para a direita até chegar a +9.

Somar e subtrair com o apoio da reta

A pergunta seguinte foi o resultado da soma (+2) + (-6). Os estudantes marcaram o primeiro número na reta e seguiram seis pontos para a esquerda, pois o segundo tem o sinal negativo. Como resultado, obtiveram -4.

Somar e subtrair com o apoio da reta

Elaine então questionou o resultado de (-6) + (+2). Ou seja, manteve a operação, mas inverteu a ordem das parcelas. Seria o mesmo que o anterior? As crianças marcaram -6 na reta e deslocaram duas casas para a direita. "Elas chegaram a -4 também e compreenderam que a ordem das parcelas não altera o resultado", conta Elaine.

Na hora de trabalhar com a subtração, a educadora propôs um problema: a temperatura de um lugar era 2 graus positivos e passou para 5 positivos. Qual a variação? Os alunos calcularam 5 - 2, como faziam antes de aprender os negativos, e chegaram a 3. A professora então pediu que eles fizessem o processo de marcação na reta.

Somar e subtrair com o apoio da reta

Elaine escreveu no quadro (+5) - (+2), mostrando uma nova forma de registrar o mesmo cálculo. Depois, pediu que calculassem (+5) + (-2). De novo, a sala recorreu à reta e encontrou +3.

Ela perguntou o que poderia ser concluído se a moçada comparasse (+5) - (+2) = (+3) e (+5) + (-2) = (+3). "A garotada observou que subtrair dois números, como em (+5) - (+2), é o mesmo que somar o primeiro ao oposto do segundo. Nesse caso, (+5) + (-2)", diz.

O mesmo vale para casos em que aparecem duas parcelas negativas, como (-5) - (-3) e (-5) + (+3). A representação na reta é a mesma e ambas têm como resultado (-2).

Somar e subtrair com o apoio da reta

A ajuda da tabela de multiplicação

Em seguida foi a vez das contas de vezes. Recuperando o que já sabiam sobre somar, os alunos fizeram (+4) x (+20). Então, a educadora perguntou o resultado de (-4) x (+20). Eles sugeriram usar a reta numérica, mas inverteram as parcelas, para não ter de multiplicar -4 tantas vezes. "É mais rápido fazer o contrário!", disseram. Partindo de (+20), seguindo para a esquerda quatro vezes, de 20 em 20, chegaram a (-80).

Para explorar os cálculos envolvendo um número negativo vezes outro negativo, a classe se deparou com (-3) x (-6). Diante do impasse, Elaine sugeriu recorrer à tabela de multiplicação, começando pelo +3 e pediu que os estudantes observassem o que acontecia.

Somar e subtrair com o apoio da reta

Eles disseram que o primeiro fator diminuía de 1 em 1, enquanto o segundo permanecia o mesmo e o resultado aumentava de 6 em 6. Sabendo isso, Elaine pediu que prosseguissem.

Somar e subtrair com o apoio da reta

Dessa maneira, a meninada concluiu que um número negativo vezes outro negativo resulta em um positivo. Isso geralmente parece ser bem estranho à primeira vista. "A ideia de produtos negativos pode ser explicada também com potências com expoentes inteiros e bases negativas", diz Teixeira. Como em (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 ou

Somar e subtrair com o apoio da reta

Para trabalhar a divisão, Elaine recorreu ao que os estudantes conheciam. "Eles já sabiam que (+10) : (+2) = (+5). Pedi que explicassem o resultado", diz. Alguns disseram ter recorrido à tabela de multiplicação. Outros afirmaram ter pensado no número que multiplicado por (+2) daria (+10), chegando a (+5). Com base nisso, a professora estimulou que usassem o mesmo raciocínio para calcular (+10) : (-2). Elas buscaram o número que multiplicado por (-2) resultaria em (+10) e acharam (-5), fazendo o mesmo depois para calcular (-10) : (+2) e (-10) : (2).

"Toda divisão pode ser escrita como um produto", explica Teixeira. Como em

Somar e subtrair com o apoio da reta

Por isso é interessante que os alunos trabalhem com atividades que explorem a validade das igualdades do gênero

Somar e subtrair com o apoio da reta

1 Números na reta Peça que os estudantes listem objetos em que apareçam números negativos, como os termômetros. Com base na lista, monte uma reta numérica na vertical e desafie todos a comparar: -12 é menor que +4? e -13 é maior que zero? Por quê? Explore também a questão dos opostos: -10 e +10 estão à mesma distância de zero.

2 Adição e subtração Usando a reta numérica como apoio, proponha diversas adições e subtrações a fim de que a turma compreenda o porquê dos sinais dos resultados obtidos e note que subtrair um número inteiro do outro é o mesmo que somar o primeiro ao oposto do segundo.

3 Multiplicação e divisão Apresente diversas multiplicações e sugira que a garotada use não só a reta numérica mas também, daqui em diante, a tabela de multiplicação para calcular o produto entre dois números negativos. Para explorar a divisão, encaminhe os alunos a transformar a operação em produtos e assim encontrar o resultado.

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