O trabalho com problemas geométricos

Geometria pode ser ensinada com a resolução de problemas. Os alunos não aprendem somente a dominar técnicas: desenvolvem a capacidade de abstração e descobrem como aplicar seus conhecimentos em situações reais. Mas quais tipos de problemas realmente estimulam o raciocínio geométrico?

POR:
Ana Flávia Alonço Castanho

1. O trabalho com problemas geométricos

Aluna da EMEF José Mariano Beck, em Porto Alegre, faz atividade proposta pela professora de Matemática Vera de Moraes sobre como planificar sólidos geométricos. Foto - Tamires Kopp
Aluna da EMEF José Mariano Beck, em Porto Alegre, faz atividade proposta pela professora de Matemática Vera de Moraes sobre como planificar sólidos geométricos. Foto: Tamires Kopp.

Nos últimos anos, o ensino da Matemática tem se transformado: um número cada vez maior de professores organiza seu trabalho em torno da resolução de problemas. Os problemas vêm sendo compreendidos como situações em que o aluno põe em jogo seus conhecimentos, levanta e testa hipóteses para desenvolver um procedimento de resolução adequado, controla os resultados obtidos, explicita para os colegas seu ponto de vista e também faz uso das explicações dos colegas para repensar seu próprio caminho de resolução. Dessa forma, o aluno se aproxima cada vez mais do conhecimento matemático estudado.

No entanto, quando o conteúdo em jogo é a geometria, ainda predominam atividades com foco na memorização de nomes e na percepção visual, especialmente no Ensino Fundamental 1, período abordado mais diretamente neste artigo. Por isso, vale perguntar: que tipo de atividade intelectual cria um contexto favorável para construir saberes geométricos?

Acreditamos que o ensino deve ser organizado em torno da resolução de problemas. Mas, para responder melhor a essa questão, é importante ter claro qual sentido devemos preservar no ensino da Matemática na escola.

2. Dominar técnicas ou resolver problemas?

Aluna da EMEF José Mariano Beck, em Porto Alegre, faz atividade proposta pela professora de Matemática Vera de Moraes sobre como planificar sólidos geométricos. Foto - Tamires Kopp
Aluna da professora Andréia Silva Brito montando um cubo na aula de matemática da EEEFM Carlos Drummond de Andrade, em Presidente Médici, RO. Foto: Kriz Knack.

Quando trabalhamos ensino da Matemática em torno do domínio de técnicas, o sentido da técnica muitas vezes fica de lado. O foco é seguir passos e repetir procedimentos fechados frente a situações apresentadas pelo professor. Esse ensino exclui muitos alunos, que se sentem incapazes de aprender Matemática. Para piorar, é um aprendizado insuficiente - não serve para o momento de aplicar os conhecimentos e resolver situações diferentes daquelas nas quais se aprendeu.

Quando a atividade em classe inclui a resolução de diferentes problemas, os alunos têm maior clareza do que fazem, do que estão aprendendo e de sua própria capacidade de solucionar problemas. Isso porque, durante as resoluções, os alunos devem explicitar os procedimentos realizados e analisar as diferentes produções. Outras vezes, precisam partir dos questionamentos de outros alunos para argumentar sobre seu próprio ponto de vista ou dar razões para suas discordâncias. Com frequência, é necessário retornar ao que foi realizado para verificar suas hipóteses, validá-las ou reformulá-las.

O argentino Hector Ponce resume da seguinte maneira: "A concepção que cada um vai formando acerca da matemática depende do modo pelo qual vai conhecendo e usando os conhecimentos matemáticos. Neste processo, a escola tem um papel fundamental, já que é nela o lugar em que o uso da Matemática é sistematizado. O tipo de trabalho que se realizar na instituição influirá fortemente na relação que cada pessoa constrói com essa ciência, relação que inclui o fato de sentir-se ou não capaz de aprendê-la. Quando o ensino da matemática se apresenta como o domínio de uma técnica, ao invés de constituir-se na introdução à cultura de uma disciplina científica, a atividade matemática em sala limita-se a reconhecer, a partir das explicações do professor, qual definição usar, qual regra aplicar ou qual operação "tem que fazer" em cada tipo de problema. Aprende-se o que fazer, mas não porque fazê-lo, nem em que circunstância fazer qual coisa". A declaração está no livro "Enseñar Matematica en el Primer Ciclo. Dirección Nacional de Gestión Curricular y Formación".

Em síntese: "como" se faz Matemática na sala de aula define ao mesmo tempo "qual" Matemática se faz, "para quê" e "para quem" ela é ensinada. A partir dessa conclusão, é possível distinguir condições que possibilitam o acesso à matemática para todos - e não para poucos.

3. O que é um problema matemático?

Alunos da EE Victor Civita estudando um sólido geométrico na aula de matermática, em Guarulhos, SP. Foto: Gustavo Lourençao
Alunos da EE Victor Civita estudando um sólido geométrico na aula de matermática, em Guarulhos, SP. Foto: Gustavo Lourenção

O pedagogo Jean Brun afirma que um problema pode ser definido como uma situação inicial, com uma finalidade clara, que exige do sujeito a elaboração de uma série de ações para atingi-la. Só podemos falar em problemas quando a solução não está disponível de início, mas pode ser construída pelo sujeito.

Fica claro que muitas atividades comumente apresentadas em sala de aula sob o nome de "problema" não podem ser consideradas assim. Os alunos só estão resolvendo problemas quando lançam mão de conhecimentos que já possuem e os põem em questão, ajustando-os e reformulando-os para chegar a novos conhecimentos. É necessário que o problema gere um certo grau de incerteza, inclua o levantamento de hipóteses e esteja aberto a uma variedade de percursos de resolução.

Assim, o trabalho com resolução de problemas na escola deve considerar um tipo particular de trabalho matemático que permita aos alunos as seguintes atividades:

  • Envolver-se na resolução do problema apresentado, refletindo sobre quais conhecimentos o ajudam a resolvê-lo e o que mais é possível pensar a partir do problema. 
  • Construir suas próprias estratégias e compará-las às de seus colegas. Procedimentos incorretos e primeiras tentativas de resolução devem ser considerados como parte do processo de aprendizado
  • Analisar, sozinho ou com a ajuda do grupo, a validade dos procedimentos realizados e certificar-se dos resultados obtidos
  • Refletir sobre quais procedimentos são mais seguros, mais rápidos ou úteis para resolver a situação
  • Levantar hipóteses, formulá-las e comprová-las na tentativa de resolver novas situações matemáticas
  • Observar que conhecimentos novos são descobertos a partir da resolução dos problemas e relacionar esses conhecimentos aos já possuídos

4. Resolver problemas geométricos com raciocínio abstrato

Alunos da professora Valkiria Grun Karnopp medem objetos na aula de matemática da EM Governador Pedro Ivo Campos, em Joinville, SC. Foto: Marcelo Almeida
Alunos da professora Valkiria Grun Karnopp medem objetos na aula de matemática da EM Governador Pedro Ivo Campos, em Joinville, SC. Foto: Marcelo Almeida

Antes de pensar sobre os problemas que envolvem conhecimentos geométricos, é bom pensar sobre a natureza desse conhecimento.

A geometria trata de objetos teóricos. É verdade que muitos conhecimentos geométricos originaram-se para responder a problemas do espaço físico. Mas a solução destes problemas envolvia necessariamente a construção de um espaço representado - em um desenho, mentalmente, na escrita de uma proporção, no registro de relações, etc. Essas representações se desenvolveram e tornaram-se cada vez mais abrangentes. Graças a essa evolução, os objetos da geometria não correspondem, estritamente, a nenhum objeto da realidade. Como escreveram Maria Emília Quaranta e Beatriz Moreno em "La enseñanza de la Geometría en el jardín de infantes": "Na perspectiva do ensino, não podemos perder de vista que estamos aproximando ou dirigindo nossos alunos a objetos que não correspondem a nenhum objeto real".

Devido à natureza "ideal" dos objetos geométricos, a validação dos procedimentos e soluções dos alunos não pode ser apenas empírica. Deve envolver, desde o início, o uso de argumentações abstratas.

Segundo Hector Ponce, as crianças avançam em seus conhecimentos sobre as propriedades de figuras e corpos geométricos ao resolver e analisar um conjunto de problemas. Por exemplo: copiar uma figura que funciona como modelo permite que as crianças explorem, identifiquem e sistematizem algumas propriedades.

Ponce afirma que atividades como essa permitem ingressar em um "modo de pensar geométrico". Segundo o autor, esse modo de pensar consiste "na prática de apoiar-se em propriedades estudadas das figuras e dos corpos para poder antecipar relações não conhecidas. Trata-se de poder obter um resultado - em princípio desconhecido - a partir de relações já conhecidas. Esta é a antecipação. Por outro lado, é poder saber que tal resultado é correto porque as propriedades em jogo o garantem. Em geometria, o modo de demonstrar a validade de uma afirmação não é empírico (por exemplo, medindo ou desenhando), mas racional (através de argumentos)".

O trecho, que faz parte do livro "Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo". "Diálogos de la capacitación", permite distinguir duas características de um modo de pensar geométrico. Essa maneira de pensar antecipa relações a partir de propriedades conhecidas dos objetos geométricos. E também valida afirmações quanto a tais relações. Quais os reflexos disso para se pensar em problemas geométricos?

5. Problemas variados estimulam aprendizagens múltiplas

Alunos do professor de matemática Edson Thó Rodrigues usam três espelhos para aprender sobre pavimentação do plano semirregular, na EMEF Ministro José Américo de Almeida, em João Pessoa, PB. Foto: Caninde Soares
Alunos do professor de matemática Edson Thó Rodrigues usam três espelhos para aprender sobre pavimentação do plano semirregular, na EMEF Ministro José Américo de Almeida, em João Pessoa, PB. Foto: Caninde Soares

O argentino Horacio Itzcovith, especialista em didática da matemática, relaciona na obra "La matemática escolar" algumas características dos problemas geométricos:

"Para que uma situação consista num problema geométrico para os alunos, é necessário que:

  • implique um certo nível de dificuldade, apresente um desafio, tenha algo de novidade para os alunos;
  • exija usar os conhecimentos prévios, mas estes não sejam suficientes para a resolução;
  • para resolvê-lo, é preciso por em jogo as propriedades dos objetos geométricos;
  • o problema ponha os alunos em interação com objetos que já não pertencem ao espaço físico, mas a um espaço conceitual, representado pelas figuras e corpos;
  • os desenhos não permitam chegar à solução por simples constatação sensorial;
  • a validação da resposta do problema - ou seja, a decisão autônoma do aluno acerca da veracidade ou falsidade das respostas - não se estabeleça empiricamente, mas que se apoie nas propriedades dos objetos geométricos; ainda que, em algumas instâncias exploratórias, possam se aceitar outros modos de corroborar;
  • as argumentações a partir das propriedades conhecidas dos corpos e figuras produzam um novo conhecimento acerca destes últimos. 

Propor problemas geométricos com base nesses critérios apresentados torna possível incorporar ao dia a dia da sala de aula uma atividade típica do fazer matemático: investigar a veracidade das respostas obtidas, argumentando e validando hipóteses. A diversidade dos problemas apresentados precisa permitir ao aluno aproximar-se do conhecimento geométrico por diferentes pontos de vista. Alguns permitem aos alunos realizar um trabalho mais exploratório. Esses problemas ajudam os alunos a elaborar conjecturas, além de buscar elementos e relações que permitam caracterizar a figura ou o corpo estudado. Há ainda investigações que tornam explícitas certas relações e propriedades. Outros problemas possibilitam estudar a quantidade de soluções possíveis ou analisar se é ou não possível construir uma figura a partir dos dados oferecidos. Em alguns casos, deve ser o professor quem apresenta as razões a partir das quais certo resultado obtido é correto: as crianças ainda não estão em condições de fazer isso por seus próprios meios.

Com os problemas geométricos, os alunos aprendem a buscar a garantia da veracidade de suas afirmações. É essa procura que desejamos lhes ensinar. A diversidade de problemas lhes apresenta os diferentes aspectos da procura.

Quer saber mais?

QUARANTA, María Emilia; MORENO, Beatriz Ressia. Dirección General de Cultura y Educación. La enseñanza de la Geometría en el jardín de infantes. La Plata: Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, 2009.

PONCE, Héctor. Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo. Diálogos de la capacitación. Buenos Aires: Centro de Pedagogías de Anticipación (CePA). Secretaría de Educación Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, 2003.

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